Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm \(A\) và \(B\) thuộc \((E)\) có hoành độ dương sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và có diện tích lớn nhất.

Ta có \(a = 93.000.000\)

Và \(\frac{{a - c}}{{a + c}} = \frac{{59}}{{61}} \Leftrightarrow 61a - 61c = 59a + 59c \Leftrightarrow c = \frac{a}{{60}} = \frac{{93.000.000}}{{60}} = 1.550.000\).

Suy ra khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điêm cận nhật là: \(a - c = 91.450.000\) dặm.

Gọi phương trình chính tắc của elip \((E)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)\).

Gọi hai tiêu điểm \((E)\) là \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\).

Khi đó: \({\overrightarrow {MF} _1} = ( - c - 2\sqrt 3 ; - 2),\overrightarrow {M{F_2}}  = (c - 2\sqrt 3 ; - 2)\).

Ta có: \(M{F_1} \bot M{F_2} \Leftrightarrow {\overrightarrow {MF} _1} \cdot \overrightarrow {M{F_2}}  = 0 \Leftrightarrow ( - c - 2\sqrt 3 )(c - 2\sqrt 3 ) + 4 = 0 \Leftrightarrow {c^2} = 16\).

Suy ra \({a^2} - {b^2} = 16 \Rightarrow {a^2} = 16 + {b^2}\left( * \right)\)

Hơn nữa \((E)\) qua \(M(2\sqrt 3 ;2)\) nên \(\frac{{12}}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{12}}{{{b^2} + 16}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1(\) do \((*))\) \( \Leftrightarrow 12{b^2} + 4{b^2} + 64 = {b^4} + 16{b^2} \Leftrightarrow {b^4} = 64 \Leftrightarrow {b^2} = 8\). Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 24\).

Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc \((E):\frac{{{x^2}}}{{24}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).