Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm \(A\) và \(B\) thuộc \((E)\) có hoành độ dương sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và có diện tích lớn nhất.
Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm \(A\) và \(B\) thuộc \((E)\) có hoành độ dương sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và có diện tích lớn nhất.
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Ba đường conic (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
\(A\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).
Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và hai điểm \(A,B\) có hoành độ dương nên \(A,B\) đối xứng nhau qua \(Ox\)
Giả sử \(A(x;y)\) với \(x > 0\), suy ra \(B(x; - y)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(AB\). Khi đó \(:{S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AB \cdot OH = \frac{1}{2}|2y|x = x|y|\).
Theo bất đẳng thức AM-GM: \(1 = \frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} \cdot {y^2}} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot |y| = x|y|(x > 0)\).
Do đó \({S_{\Delta OAB}} = x|y| \le 1\). Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi: \(\frac{{{x^2}}}{4} = {y^2}\).
Thay vào \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\), ta được: \({y^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra \({x^2} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 \).
Vậy \(A\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \(a = 93.000.000\)
Và \(\frac{{a - c}}{{a + c}} = \frac{{59}}{{61}} \Leftrightarrow 61a - 61c = 59a + 59c \Leftrightarrow c = \frac{a}{{60}} = \frac{{93.000.000}}{{60}} = 1.550.000\).
Suy ra khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điêm cận nhật là: \(a - c = 91.450.000\) dặm.
Lời giải
Một elip có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0\), khoảng cách từ tiêu điểm đến một điểm bất kì \(M\) có hoành độ \({x_M}\) là \({d_M} = a \pm \frac{{c \cdot {x_M}}}{a}\), cho nên khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ một tiêu điểm đến một điểm thuộc elip lần lượt là \(a + c\) và \(a - c\).
Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 152}\\{a - c = 147}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{299}}{2}}\\{c = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy tâm sai của \((E)\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{{299}} \approx 0,0167\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Tiêu cự bằng \(2\)
Đúng
Sai
b) \(a = \sqrt 3 \)
Đúng
Sai
c) \({b^2} = 2\)
Đúng
Sai
d) Điểm \(B\left( {0;1} \right)\) thuộc hypebol \((H)\)
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[3\].
B. \[9\].
C. \[6\].
D. \[18\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập