Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm \(A\) và \(B\) thuộc \((E)\) có hoành độ dương sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và có diện tích lớn nhất.

Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và hai điểm \(A,B\) có hoành độ dương nên \(A,B\) đối xứng nhau qua \(Ox\)

Giả sử \(A(x;y)\) với \(x > 0\), suy ra \(B(x; - y)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(AB\). Khi đó \(:{S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AB \cdot OH = \frac{1}{2}|2y|x = x|y|\).

Theo bất đẳng thức AM-GM: \(1 = \frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} \cdot {y^2}}  = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot |y| = x|y|(x > 0)\).

Do đó \({S_{\Delta OAB}} = x|y| \le 1\). Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi: \(\frac{{{x^2}}}{4} = {y^2}\).

Thay vào \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\), ta được: \({y^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra \({x^2} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 \).

Vậy \(A\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).