Các hành tinh và các sao chổi khi chuyển động xung quanh mặt trời có quỹ đạo là một đường elip trong đó tâm mặt trời là một tiêu điểm. Điểm gần mặt trời nhất gọi là điểm cận nhật, điểm xa mặt trời nhất gọi là điểm viễn nhật. Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo là một đường elip có độ dài nửa trục lớn bằng \(93.000.000\) dặm. Tỉ số khoảng cách giữa điểm cận nhật và điểm viễn nhật đến mặt trời là \(\frac{{59}}{{61}}\). Tính khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điểm cận nhật. Lấy giá trị gần đúng.

Gọi phương trình chính tắc của elip \((E)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)\).

Gọi hai tiêu điểm \((E)\) là \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\).

Khi đó: \({\overrightarrow {MF} _1} = ( - c - 2\sqrt 3 ; - 2),\overrightarrow {M{F_2}}  = (c - 2\sqrt 3 ; - 2)\).

Ta có: \(M{F_1} \bot M{F_2} \Leftrightarrow {\overrightarrow {MF} _1} \cdot \overrightarrow {M{F_2}}  = 0 \Leftrightarrow ( - c - 2\sqrt 3 )(c - 2\sqrt 3 ) + 4 = 0 \Leftrightarrow {c^2} = 16\).

Suy ra \({a^2} - {b^2} = 16 \Rightarrow {a^2} = 16 + {b^2}\left( * \right)\)

Hơn nữa \((E)\) qua \(M(2\sqrt 3 ;2)\) nên \(\frac{{12}}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{12}}{{{b^2} + 16}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1(\) do \((*))\) \( \Leftrightarrow 12{b^2} + 4{b^2} + 64 = {b^4} + 16{b^2} \Leftrightarrow {b^4} = 64 \Leftrightarrow {b^2} = 8\). Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 24\).

Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc \((E):\frac{{{x^2}}}{{24}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).

Một elip có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0\), khoảng cách từ tiêu điểm đến một điểm bất kì \(M\) có hoành độ \({x_M}\) là \({d_M} = a \pm \frac{{c \cdot {x_M}}}{a}\), cho nên khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ một tiêu điểm đến một điểm thuộc elip lần lượt là \(a + c\) và \(a - c\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 152}\\{a - c = 147}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{299}}{2}}\\{c = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy tâm sai của \((E)\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{{299}} \approx 0,0167\).