Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\), \(B\left( {1;0;1} \right)\), \(C\left( { - 1;1;2} \right)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\).

Đáp án: 15,8

Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(H = SK \cap C'D'\) khi đó \(H\) là trung điểm \(C'D'\). Do đó, \(IH\) là đường cao của hình thang cân \(ABC'D'\).

Gắn hệ trục \(Oxyz\) sao cho tia \(IB\), \(IH\) và \[IS\] lần lượt trùng với \[Ox,Oy,Oz\].

Suy ra, \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;4} \right)\)

Đặt \(\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \alpha \), khi đó \(\widehat {KIH} = \alpha \).

Khi đó, \(K\left( {0;3\cos \alpha ;3\sin \alpha } \right)\), \(H\left( {0;4,5;0} \right)\).

Ta lại có, \(S,K,H\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {SK}  = t.\overrightarrow {SH}  = \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha  = t.4,5\\3\sin \alpha  - 4 =  - 4.t\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{14}}{{29}}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)

+ Với \(t = \frac{{14}}{{29}}\) thì \(SK = \frac{{14}}{{29}}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{{14}}{{29}} \Rightarrow C'D' = \frac{{29}}{7}\).

Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + \frac{{29}}{7}} \right).4,5}}{2} \approx 13,821\).

+ Với \(t = \frac{2}{5}\) thì \(SK = \frac{2}{5}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{2}{5} \Rightarrow C'D' = 5\).

Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).4,5}}{2} = 15,75 \approx 15,8\).

Vậy \(\max {S_{ABC'D'}} \approx 15,8\) \({m^2}\).

Đáp án: 37,1

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) hình vẽ

Ta có \(AB = 9\); \(BC = 3\).

Điểm \(C\left( {12;3;3} \right)\).

Điểm \(O\left( {x;y;4} \right);2 \le x \le 12;0 \le y \le 8\).

Điểm \(D\left( {0;8;3} \right)\). Điểm \(E\left( {0;0;z} \right);F\left( {0;0;z + 2} \right);0 \le z \le 8\)

Ta tính \(CO = \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} \).

\(DO = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1} \)

\(DE = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \)

\(EF = 2;FG = 8 - z;GH = 0,5\)

Vì vậy tổng độ dài dây điện là

\(\begin{array}{l}AB + BC + CO + OD + ED + EF + FG + GH\\ = 22,5 + \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}}  - z\end{array}\).

Vì vậy tổng độ dài là ngắn nhất nếu cả hai điều sau xảy ra

\({\left( {CO + OD} \right)_{\min }};{\left( {ED + FG} \right)_{\min }}\).

Vì \(C,D\)nằm cùng phía với mái che, nên ta lấy điểm \(C'\left( {12;3;5} \right)\) điểm đối xứng với \(C\) qua mặt phẳng mái che.

Đường thẳng \(DC':\left\{ \begin{array}{l}x = 12t\\y = 8 - 5t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\), giao với mặt phẳng mái che tại điểm O cần tìm là \(O\left( {6;\frac{{11}}{2};4} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( z \right) = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}}  - z;z \in \left[ {0;8} \right]\). Ta có đạo hàm

\(f'\left( z \right) = \frac{{\left( {z - 3} \right)}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} }} - 1 < 0\). Suy ra \(f\left( z \right) \ge \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}}  - 8\).

Vì vậy khoảng cách ngắn nhất là

\( = 22,5 + \sqrt {{{12}^2} + {5^2} + {2^2}}  + \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}}  - 8 \approx 37,1\).