Cho \[\Delta ABC\] có \[M\] là trung điểm của \[BC\] và \[AM\] là tia phân giác của \[\widehat A\]. Từ \[M\], kẻ \[ME \bot AB,\,\,MF \bot AC.\]

Khi đó:

a) Đúng.

Nhận thấy, \[\widehat {ABM},\,\,\widehat {ACN}\] lần lượt kề bù với \[\widehat {ABC},\,\,\widehat {ACB}\].

Do đó, ta có: \[\widehat {ABM} = 180^\circ - \widehat {ABC},\,\,\widehat {ACN} = 180^\circ - \widehat {ACB}\].

Từ đó, suy ra \[\widehat {ABM} = \,\,\widehat {ACN}\].

b) Đúng.

Xét \[\Delta ABI\] và \[\Delta ACI\], có:

\[\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\] (gt)

\[AI\] chung (gt)

Suy ra \[\Delta ABI = \Delta ACI\] (cạnh góc vuông – góc nhọn)

c) Sai.

Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACN\], có:

\[MB = NC\] (gt)

\[\widehat {MBA} = \widehat {NCA}\] (cmt)

\[AB = AC\,\,\left( {\Delta ABI = \Delta ACI} \right)\]

Do đó, \[\Delta ABM = \Delta ACN\] (c.g.c)

d) Đúng.

Vì \[\Delta ABM = \Delta ACN\] (cmt) nên \[\widehat {AMB} = \widehat {CNA}\] (hai góc tương ứng) hay \[\widehat {EMB} = \widehat {CNF}\].

Xét \[\Delta BME\] và \[\Delta CNF\] có:

\[MB = CN\] (gt)

\[\widehat {EMB} = \widehat {FNC}\] (cmt)

Do đó, \[\Delta BME = \Delta CNF\] (cạnh huyền – góc nhọn)

a) Đúng.

Xét \[\Delta DBH\] và \[\Delta EMH\] có:

\[MH = HB\] (gt)

\[\widehat {DBH} = \widehat {HME}\] (cùng phụ với \[\widehat {BCA}\])

Do đó, \[\Delta DBH = \Delta EMH\] (cạnh góc vuông – góc nhọn).

b) Đúng.

Vì \[\Delta DBH = \Delta EMH\] (cmt) nên \[HE = HD\] (hai cạnh tương ứng)

c) Sai.

Xét \[\Delta DAH\] và \[\Delta HAE\] có:

\[DH = HE\] (cmt)

\[AH\] chung (gt)

Do đó, \[\Delta DAH = \Delta EAH\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

d) Đúng.

Vì \[\Delta DAH = \Delta EAH\] (cmt) nên \[\widehat {DAH} = \widehat {EAH}\] (hai góc tương ứng)

Hay \[\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\].

Mà tia \[AH\] nằm trong \[\widehat {BAC}\].

Suy ra \[AH\] là phân giác của \[\widehat {BAC}\].