Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho vectơ \(\vec u = \left( {2\,;\, - 1\,;\,3} \right)\). Tìm toạ độ của vectơ \(3\,\vec u\).

Đáp án: 13,9.

Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có \(\tan \widehat {FOA} = \tan 60^\circ  = \sqrt 3  \Rightarrow OA:y = x\sqrt 3  \Rightarrow y(2) = 2\sqrt 3 .\)

Giả sử \(({C_1}):y = a{x^2} + b \Rightarrow y' = 2ax.\)

Vì \(({C_1})\) tiếp xúc với \(OA\) tại \(A\) nên \(y'(2) = \sqrt 3  \Leftrightarrow 2a.2 = \sqrt 3  \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + b\)

Mặt khác \(A(2;2\sqrt 3 ) \in ({C_1}) \Rightarrow 2\sqrt 3  = \sqrt 3  + b \Rightarrow b = \sqrt 3  \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 .\)

Diện tích phần giới hạn bởi \(({C_1})\) với hai đường thẳng \(OA,OB\) bằng

\({S_1} = 2\int\limits_0^2 {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3  - x\sqrt 3 } \right){\rm{d}}x}  = 2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{x^3} + x\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}} \right]_0^2 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Cách khác, áp dụng công thức tính diện tích cửa parabol có đáy \(a\) và chiều cao \(b\) là \(S = \frac{2}{3}ab.\)

\({S_1} = {S_{\Delta OAB}} - {S_{({C_1})}} = 4\sqrt 3  - \frac{2}{3}.4.\sqrt 3  = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy diện tích cần tìm là \(S = 6{S_1} = 6.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 8\sqrt 3  = \)13,9 (cm²).

Đáp án: 6,56

1. Đặt ẩn và lập hàm số

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất \(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Gọi \(L\) là tổng chiều dài của chiếc thang. Chiếc thang bị chia làm hai đoạn bởi điểm tựa trên đỉnh hàng rào:

Đoạn từ mặt đất đến đỉnh hàng rào (xét tam giác vuông tạo bởi đoạn thang này, mặt đất và hàng rào): \({L_1} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }}\)

Đoạn từ đỉnh hàng rào đến bức tường (xét tam giác vuông phía trên, với cạnh kề là khoảng cách từ hàng rào đến tường): \({L_2} = \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\)

Tổng chiều dài của thang sẽ là hàm số theo góc \(\alpha \): \(L(\alpha ) = {L_1} + {L_2} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }} + \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\).

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm chiều dài ngắn nhất, ta tính đạo hàm của \(L(\alpha )\) và cho bằng \(0\):

\(L'(\alpha ) =  - \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Cho \(L'(\alpha ) = 0\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \)\(1,8 \cdot {\sin ^3}\alpha  = 2,88 \cdot {\cos ^3}\alpha \)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{2,88}}{{1,8}}\)

\( \Leftrightarrow \)\({\tan ^3}\alpha  = 1,6 \Rightarrow \tan \alpha  = \sqrt[3]{{1,6}} \Rightarrow \alpha  = \arctan (\sqrt[3]{{1,6}}) \approx 49,47\)

\(\min L \approx 6,55936...\) (mét)

Theo yêu cầu đề bài, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm:

Chiều dài ngắn nhất của chiếc thang là 6,56 mét.