Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

a) $\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{3x + y = 3}\\{2x - y = 7.}\end{array}} \right.$

b) $\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{8x - 7y = 5}\\{12x + 13y = - 8.}\end{array}} \right.$

c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5(x + 2y) = 3x - 1}\\{2x + 4 = 3(x - 5y) - 12.}\end{array}} \right.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 34 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Cộng hai phương trình của hệ cho nhau ta được phương trình

$5x = 10 \Leftrightarrow x = 2{\rm{ }}{\rm{. }}$

Do đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{2x - y = 7}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 3}\end{array}} \right.} \right.$

Kết luận: Nghiệm của hệ là $(2; - 3)$.

b) Nhân phương trình đầu của hệ cho 3, nhân phương trình sau của hệ cho 2 và trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{24x - 21y = 15}\\{24x + 26y = - 16}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8x - 7y = 5}\\{47y = - 31}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{ - 31}}{{47}}}\\{x = \frac{9}{{188}}.}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Kết luận: Nghiệm của hệ là $\left( {\frac{9}{{188}};\frac{{ - 31}}{{47}}} \right)$.

c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5(x + 2y) = 3x - 1}\\{2x + 4 = 3(x - 5y) - 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x + 10y = 3x - 1}\\{2x + 4 = 3x - 15y - 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 10y = - 1}\\{ - x + 15y = - 16}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình sau cho 2 và cộng với phương trình đầu ta được

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 10y = - 1}\\{ - 2x + 30y = - 32}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + 15y = - 16}\\{40y = - 33}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{ - 33}}{{40}}}\\{x = \frac{{29}}{8}}\end{array}} \right.$

Kết luận: Nghiệm của hệ là $\left( {\,\frac{{29}}{8};\frac{{ - 33}}{{40}}\,} \right)$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải các hệ phương trình sau

a. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{8}{x} + \frac{{15}}{y} = 1\end{array} \right.\] b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\]

Xem đáp án

Lời giải

a. Điều kiện \[x,y \ne 0\].

Đặt \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\], ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{{12}}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}8a + 8b = \frac{2}{3}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{28}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 28\\y = 21\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {28;21} \right)\].

b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {x \ne - 2y;y \ne - 2x} \right)\]

Đặt \[\frac{1}{{x + 2y}} = 1;\,\,\,\frac{1}{{y + 2x}} = b\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\4a - 3b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{7}\\b = \frac{{11}}{7}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[x = y = \frac{1}{3}\]

Câu 2

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + my = 2\\mx - 2y = 1\end{array} \right.$

a) Tìm số nguyên $m$để hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ mà $x > 0;y < 0$

b) Tìm số nguyên $m$để hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ mà $x;y$ là các số nguyên

Xem đáp án

Lời giải

a) + Với $m = 0$ thì hệ có nghiệm $\left( {2; - \frac{1}{2}} \right)$ thỏa mãn đề bài

+ Với $m \ne 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}mx + {m^2}y = 2m\\mx - 2y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{m^2} + 2} \right)y = 2m - 1\\mx - 2y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\\x = \frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}} < 0\\\frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\m + 4 > 0\end{array} \right. \Rightarrow - 4 < m < \frac{1}{2}$

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 3, - 2; - 1;0} \right\}$

Vậy với $m \in \left\{ { - 3, - 2; - 1;0} \right\}$thì hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ mà $x > 0;y < 0$

b) + Với $m = 0$ thì hệ có nghiệm $\left( {2; - \frac{1}{2}} \right)$ thỏa mãn đề bài

+ Với $m \ne 0$ thì hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}};\frac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}} \right)$

Trước hết tìm $m \in \mathbb{Z}$ để $x \in \mathbb{Z}$ thì $m + 4 \vdots {m^2} + 2$

$ \Rightarrow {m^2} + 4m \vdots {m^2} + 2 \Rightarrow 4m - 2 \vdots {m^2} + 2$

$ \Rightarrow 4\left( {m + 4} \right) - \left( {4m - 2} \right) \vdots {m^2} + 2 \Rightarrow 18 \vdots {m^2} + 2$

Mà ${m^2} + 2 > 2$ nên ${m^2} + 2 \in \left\{ {3;6;9;18} \right\}$$ \Rightarrow {m^2} \in \left\{ {1;4;7;16} \right\}$

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}$.

Câu 3