Cho hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}(m - 1)x + y = m(1)\\x + (m - 1)y = 2(2)\end{array} \right.\], \[m\] là tham số, giả sử hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x,y} \right)\]

a. Tìm đẳng thức liên hệ giữa \[x\] và \[y\] không phụ thuộc vào \[m\]

b. Tìm giá trị của \[m\] thỏa mãn \[2{x^2} - 7y = 1\]

c. Tìm các giá trị nguyên của m để biểu thức \[\frac{{2x - 3y}}{{x + y}}\] nhận giá trị nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 34 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a. Từ (1) ta có: \[y = m - \left( {m - 1} \right)x\], thay vào phương trình (2) ta được:

\[x + \left( {m - 1} \right)\left[ {m - \left( {m - 1} \right)x} \right] = 2\]

\[\left( {{m^{\rm{2}}} - 2m} \right)x = {m^2} - m - 2\]

\[m\left( {m - 2} \right)x = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right)\]

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 1}}{m}\\y = \frac{1}{m}\end{array} \right.\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 1}}{m}\\y = \frac{1}{m}\end{array} \right. \Rightarrow x - y = 1\] là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

b. Ta có: \[x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1;\] \[2{(y + 1)^2} - 7y = 1\]

\[2{y^2} - 3y + 1 = 0\]

\[y = 1\] hoặc \[y = \frac{1}{2}\]

+) Với \[y = 1\] thì \[\frac{1}{m} = 1\] hay \[m = 1\]

+) Với \[y = \frac{1}{2}\] thì \[\frac{1}{m} = \frac{1}{2}\] hay \[m = 2\] (loại)

Vậy \[m = 1\] là giá trị cần tìm.

c. Ta có \[\frac{{2x - 3y}}{{x + y}} = \frac{{2(y + 1) - 3y}}{{2y + 1}}\]\[ = \frac{{2 - y}}{{2y + 1}} = \frac{{2m - 1}}{{m + 2}}\]\[ = 2 - \frac{5}{{m + 2}} \in \mathbb{Z}\]

Khi đó \[\frac{5}{{m + 2}} \in \mathbb{Z}\] nên \[m + 2 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\], suy ra \[m \in \left\{ { - 1; - 3;3; - 7} \right\}\].

Vậy \[m \in \left\{ { - 1; - 3;3; - 7} \right\}\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x + 3y = 2\end{array} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{array}{l}5x = 6y\\x = 2\left( {y - 6} \right)\end{array} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 2\\x + y = 4\end{array} \right.\]

Xem đáp án

Lời giải

a) $\left( {1;\,\frac{1}{3}} \right)$ b) $\,(18;\,15)$ c) $(2;2)$

Câu 2

Giải các hệ phương trình sau

a. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{8}{x} + \frac{{15}}{y} = 1\end{array} \right.\] b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\]

Xem đáp án

Lời giải

a. Điều kiện \[x,y \ne 0\].

Đặt \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\], ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{{12}}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}8a + 8b = \frac{2}{3}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{28}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 28\\y = 21\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {28;21} \right)\].

b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {x \ne - 2y;y \ne - 2x} \right)\]

Đặt \[\frac{1}{{x + 2y}} = 1;\,\,\,\frac{1}{{y + 2x}} = b\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\4a - 3b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{7}\\b = \frac{{11}}{7}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[x = y = \frac{1}{3}\]

Câu 3