Cho hệ phương trình (a+1)x−ay=5(1; x+ay=a^2+4a (2) Tìm các giá trị của a ∈ Z để cho hệ có nghiệm (x ; y) với x , y ∈ Z
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \(x = {a^2} + 4a - ay\). Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được
\(\left( {a + 1} \right).\left( {{a^2} - 4a - ay} \right) - ay = 5 \Rightarrow a\left( {a + 2} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\) (3)
+ nếu \(a = 0\) hoặc \(a = - 2\) thì phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm
+ Điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất là \(a \ne 0;a \ne - 2\). Khi đó
\(y = \frac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a\left( {a + 2} \right)}} \Rightarrow x = \frac{{{a^2} + 4a + 5}}{{a + 2}}\)
+ Trước hết ta tìm \(a \in \mathbb{Z}\) để \(x \in \mathbb{Z}\)
\(x = \frac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + 1}}{{a + 2}} = a + 2 + \frac{1}{{a + 2}}\)
Để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(a + 2 \in U\left( 1 \right)\) hay \(a + 2 = \pm 1 \Rightarrow a = - 3;a = - 1\)
+ Với \(a = - 3\) thì \(y = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 3} \right)}^2} + 4.\left( { - 3} \right) - 5}}{{ - 3.\left( { - 3 + 2} \right)}} = \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\)
+ Với \(a = - 1\) thì \(y = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 1} \right)}^2} + 4.\left( { - 1} \right) - 5}}{{ - 1.\left( { - 1 + 2} \right)}} = 5 \in \mathbb{Z}\)
Vậy với \(a = - 1\) thì hệ có nghiệm nguyên là \(\left( {2;5} \right)\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập