Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - ay = 5\left( 1 \right)\\x + ay = {a^2} + 4a\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Tìm các giá trị của $a \in \mathbb{Z}$ để cho hệ có nghiệm $\left( {x;y} \right)$ với $x,y \in \mathbb{Z}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 34 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ phương trình $\left( 2 \right)$ ta có $x = {a^2} + 4a - ay$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được

$\left( {a + 1} \right).\left( {{a^2} - 4a - ay} \right) - ay = 5 \Rightarrow a\left( {a + 2} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5$ (3)

+ nếu $a = 0$ hoặc $a = - 2$ thì phương trình $\left( 3 \right)$ vô nghiệm

+ Điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất là $a \ne 0;a \ne - 2$. Khi đó

$y = \frac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a\left( {a + 2} \right)}} \Rightarrow x = \frac{{{a^2} + 4a + 5}}{{a + 2}}$

+ Trước hết ta tìm $a \in \mathbb{Z}$ để $x \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + 1}}{{a + 2}} = a + 2 + \frac{1}{{a + 2}}$

Để $x \in \mathbb{Z}$ thì $a + 2 \in U\left( 1 \right)$ hay $a + 2 = \pm 1 \Rightarrow a = - 3;a = - 1$

+ Với $a = - 3$ thì $y = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 3} \right)}^2} + 4.\left( { - 3} \right) - 5}}{{ - 3.\left( { - 3 + 2} \right)}} = \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}$

+ Với $a = - 1$ thì $y = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 1} \right)}^2} + 4.\left( { - 1} \right) - 5}}{{ - 1.\left( { - 1 + 2} \right)}} = 5 \in \mathbb{Z}$

Vậy với $a = - 1$ thì hệ có nghiệm nguyên là $\left( {2;5} \right)$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x + 3y = 2\end{array} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{array}{l}5x = 6y\\x = 2\left( {y - 6} \right)\end{array} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 2\\x + y = 4\end{array} \right.\]

Xem đáp án

Lời giải

a) $\left( {1;\,\frac{1}{3}} \right)$ b) $\,(18;\,15)$ c) $(2;2)$

Câu 2

Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho ba đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):2x - y = - 1;\left( {{d_2}} \right):x + y = - 2$; $\left( {{d_3}} \right):y = - 2x - m.$ Xác định $m$ để ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Xem đáp án

Lời giải

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là nghiệm của hệ

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x + y = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.$

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi $\left( {{d_3}} \right)$ đi qua $(\, - 1; - 1\,)$. Tức là

$ - 1 = - 2 \cdot (\, - 1\,) - m$ hay $m = 3.$

Vậy $m = 3$.

Câu 3