Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - ay = 5\left( 1 \right)\\x + ay = {a^2} + 4a\left( 2 \right)\end{array} \right.\) Tìm các giá trị của \(a \in \mathbb{Z}\) để cho hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,y \in \mathbb{Z}\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 34 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \(x = {a^2} + 4a - ay\). Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được

\(\left( {a + 1} \right).\left( {{a^2} - 4a - ay} \right) - ay = 5 \Rightarrow a\left( {a + 2} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\) (3)

+ nếu \(a = 0\) hoặc \(a = - 2\) thì phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm

+ Điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất là \(a \ne 0;a \ne - 2\). Khi đó

\(y = \frac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a\left( {a + 2} \right)}} \Rightarrow x = \frac{{{a^2} + 4a + 5}}{{a + 2}}\)

+ Trước hết ta tìm \(a \in \mathbb{Z}\) để \(x \in \mathbb{Z}\)

\(x = \frac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + 1}}{{a + 2}} = a + 2 + \frac{1}{{a + 2}}\)

Để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(a + 2 \in U\left( 1 \right)\) hay \(a + 2 = \pm 1 \Rightarrow a = - 3;a = - 1\)

+ Với \(a = - 3\) thì \(y = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 3} \right)}^2} + 4.\left( { - 3} \right) - 5}}{{ - 3.\left( { - 3 + 2} \right)}} = \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\)

+ Với \(a = - 1\) thì \(y = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 1} \right)}^2} + 4.\left( { - 1} \right) - 5}}{{ - 1.\left( { - 1 + 2} \right)}} = 5 \in \mathbb{Z}\)

Vậy với \(a = - 1\) thì hệ có nghiệm nguyên là \(\left( {2;5} \right)\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải các hệ phương trình sau

a. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{8}{x} + \frac{{15}}{y} = 1\end{array} \right.\] b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\]

Lời giải

a. Điều kiện \[x,y \ne 0\].

Đặt \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\], ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{{12}}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}8a + 8b = \frac{2}{3}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{28}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 28\\y = 21\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {28;21} \right)\].

b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {x \ne - 2y;y \ne - 2x} \right)\]

Đặt \[\frac{1}{{x + 2y}} = 1;\,\,\,\frac{1}{{y + 2x}} = b\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\4a - 3b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{7}\\b = \frac{{11}}{7}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[x = y = \frac{1}{3}\]

Câu 2