Chứng minh đẳng thức:

a). \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}} = 1{\rm{ (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}\]

b). \[\frac{{a\sqrt b + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^2}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) = b{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)\]

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a). Ta có \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}}{\rm{ (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}\]

\[\begin{array}{l}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) - \sqrt b \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right).\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} - \frac{{2b}}{{a - b}}\\ = \frac{{a + \sqrt {ab} - \sqrt {ab} + b}}{{a - b}} - \frac{{2b}}{{a - b}}\end{array}\]

\[ = \frac{{a - b}}{{a - b}} = 1\]

b). Ta có \[\frac{{a\sqrt b + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^3}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right){\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right).\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\sqrt {\frac{{b\left( {a + b - 2\sqrt {ab} } \right)}}{{{a^2} + 2a\sqrt b + b}}} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ = \frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}.\sqrt {\frac{{b{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt b } \right)}^2}}}} \\ = \frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}.\frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}} = b\end{array}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Rút gọn biểu thức:

a) \(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }}\) b) \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

Lời giải

a). Ta có: \(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 (1 + \sqrt 2 )}} - \frac{2}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}}\)

\( = \frac{{\sqrt 2 - 1 - 2 + 2 + 2\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}} = \frac{3}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 3\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)

b). Ta có: \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }} = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

\( = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} }} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt 5 + 1}} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt 5 + 1}} = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{3 - \sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left( {2\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right) + \left( {2\sqrt 2 - \sqrt {10} } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)

\( = \frac{{6\sqrt 2 - 2\sqrt {10} + 3\sqrt {10} - \sqrt {50} + 6\sqrt 2 + 2\sqrt {10} - 3\sqrt {10} - \sqrt {50} }}{{9 - 5}}\)

\( = \frac{{12\sqrt 2 - 2\sqrt {50} }}{4} = \frac{{12\sqrt 2 - 10\sqrt 2 }}{4} = \frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Câu 2

Rút gọn các biểu thức

a). \(\sqrt {50} - \sqrt {32} + 3\sqrt 8 \); b). \(\sqrt {25a} + 2\sqrt {160a} - 3\sqrt {10a} \) với \(a \ge 0\).

c). \(\left( {2\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt 7 - \sqrt {84} \). d). \(\left( {\sqrt {63} - \sqrt 8 - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {14} \).

Lời giải

a) Ta có \(\sqrt {50} - \sqrt {32} + 3\sqrt 8 = \sqrt {25.2} - \sqrt {16.2} + 3\sqrt {4.2} = 5\sqrt 2 - 4\sqrt 2 + 3.2.\sqrt 2 = 7\sqrt 2 \).

b) \(\sqrt {25a} + 2\sqrt {160a} - 3\sqrt {10a} = \sqrt {25.10a} + 2.\sqrt {16.10a} - 3\sqrt {10a} \)

\( = 5\sqrt {10a} + 2.4.\sqrt {10a} - 3\sqrt {10a} = 10\sqrt {10a} \).

c) \(\left( {2\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt 7 - \sqrt {84} = 2\sqrt 7 .\sqrt 7 + \sqrt 3 .\sqrt 7 - \sqrt {4.21} \)

\( = 2.7 + \sqrt {21} - 2\sqrt {21} = 14 - \sqrt {21} \).

d) \(\left( {\sqrt {63} - \sqrt 8 - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {14} = \sqrt {63} .\sqrt 7 - \sqrt 8 .\sqrt 7 - \sqrt 7 .\sqrt 7 + 2\sqrt {14} \)

\( = \sqrt {9.7.7} - 2\sqrt 2 .\sqrt 7 - 7 + 2\sqrt {14} = 3.7 - 2\sqrt {14} - 7 + 2\sqrt {14} = 14\).

Câu 3