Chứng minh đẳng thức:

a). \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}} = 1{\rm{ (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}\]

b). \[\frac{{a\sqrt b + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^2}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) = b{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)\]

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a). Ta có \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}}{\rm{ (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}\]

\[\begin{array}{l}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) - \sqrt b \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right).\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} - \frac{{2b}}{{a - b}}\\ = \frac{{a + \sqrt {ab} - \sqrt {ab} + b}}{{a - b}} - \frac{{2b}}{{a - b}}\end{array}\]

\[ = \frac{{a - b}}{{a - b}} = 1\]

b). Ta có \[\frac{{a\sqrt b + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^3}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right){\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right).\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\sqrt {\frac{{b\left( {a + b - 2\sqrt {ab} } \right)}}{{{a^2} + 2a\sqrt b + b}}} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ = \frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}.\sqrt {\frac{{b{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt b } \right)}^2}}}} \\ = \frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}.\frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}} = b\end{array}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

a) Rút gọn A nếu \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\);

b) Tìm x để \(A = 2\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\), ta có:\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 3\sqrt x + 2 + 2x - 4\sqrt x - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)

b) Khi \(A = 2\) ta được \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = 2 \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\left( {\sqrt x + 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16{\rm{ }}(tm{\rm{ }}x \ge 0,x \ne 4)\)

Vậy \(x = 16\).

Câu 2

Cho biểu thức: \(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

a) Rút gọn C nếu \(x \ge 0,x \ne 1;\)

b) Tìm \(x\) để C dương;

c) Tìm giá trị lớn nhất của C.

Xem đáp án

Lời giải

a) ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có:

\(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{ - \sqrt x {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {1 - x} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)\)

b) Ta có:\(C > 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt x > 0 \Leftrightarrow 1 > \sqrt x \Rightarrow 0 \le x < 1.\)

c) Với \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có\(C = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) = \sqrt x - x = - \left( {x - \sqrt x } \right) = - \left( {x - 2\sqrt x .\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right) = - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\)

Vì \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\).

Do đó: \(C \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\)

GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(\sqrt x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.\)

Vậy GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{1}{4}\).

Câu 3