Cho biểu thức: \(B = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\frac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với \(a > b > 0.\)

a) Rút gọn B;

b) Tính B nếu \(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\);

c) Tìm điều kiện của \(a,b\) để \(B < 1\).

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Với điều kiện: \(a > b > 0\), ta có:\(B = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\frac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \frac{{\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} + a} \right)}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}.\frac{{\left( {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right)}}{b}\\ = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \frac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} = \frac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }} = \sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \end{array}\)

b) Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}b\) thay vào ta được \(B = \sqrt {\frac{{\frac{3}{2}b - b}}{{\frac{3}{2}b + b}}} = \sqrt {\frac{{\frac{1}{2}b}}{{\frac{5}{2}b}}} = \sqrt {\frac{1}{5}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

c) Khi \(B < 1\) ta có: \(\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} < 1 \Leftrightarrow \) \(\frac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }} < 1 \Leftrightarrow \sqrt {a - b} < \sqrt {a + b} \)

\( \Leftrightarrow a - b < a + b \Leftrightarrow - b < b \Leftrightarrow 2b > 0 \Leftrightarrow b > 0.\)

Vậy với \(a > b > 0\) thì \(B < 1.\)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

a) Rút gọn A nếu \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\);

b) Tìm x để \(A = 2\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\), ta có:\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 3\sqrt x + 2 + 2x - 4\sqrt x - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)

b) Khi \(A = 2\) ta được \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = 2 \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\left( {\sqrt x + 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16{\rm{ }}(tm{\rm{ }}x \ge 0,x \ne 4)\)

Vậy \(x = 16\).

Câu 2

Khử mẫu các biểu thức dưới dấu căn rồi thực hiện phép tính:\[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - \sqrt {\frac{1}{{15}}} \].

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} = 2\frac{{\sqrt {60} }}{{20}} = 2.\frac{{2\sqrt {15} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\]

\[\begin{array}{l}\sqrt {\frac{1}{{60}}} = \frac{{\sqrt {60} }}{{60}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{{60}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{30}}\\\sqrt {\frac{1}{{15}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array}\]

Vậy \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - \sqrt {\frac{1}{{15}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5} + \frac{{\sqrt {15} }}{{30}} - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}} = \sqrt {15} \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{15}}} \right) = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\].

Câu 3