Cho đường tròn \((O;R)\) đường kính \(AB\). M là điểm cố định nằm trong đường tròn ( \(M\) khác \(O\) ) và \[CD\] là dây cung quay quanh \(M\). Gọi \[H,{\rm{ }}K\]lần lượt là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên \(CD\). Xác định vị trí của dây CD để \(AH + BK\) lớn nhất.

Hướng dẫn: Kẻ \(OI \bot CD\).

Kẻ \(OI \bot CD\) ta có \(IC = ID\) (tam giác \(COD\)cân tại \(O\) nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Gọi M là giao điểm của OI và \(AK\) ta có \(M\) là trung điểm của \[AK\].

Xét \(\Delta AKH\) có \(M\) là trung điểm của \[AK\]

\[MI{\rm{\;//}}AH\](vì cùng \( \bot CD\))

\( \Rightarrow \) \[I\] là trung điểm của \[HK\] hay \(IH = IK\) (2)

Ta có \({\rm{OH}} \bot {\rm{BP}}\). Tam giác \(A{\rm{OB}}\) cân tại \({\rm{O}}\) nên đường cao \({\rm{OH}}\) đồng thời là đường tuyến H là trung điểm của AB:

\({\rm{HA}} = {\rm{HB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{\rm{R}}}{2}{\rm{.\;}}\)

Xét tam giác vuông AHO ta có:

\({\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^3} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}}  = \sqrt {{{\rm{R}}^2} - {{\left( {\frac{{\rm{R}}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \({\rm{OK}} < \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow {\rm{OK}} < {\rm{OH}} \Rightarrow {\rm{AB}} < {\rm{CD}}\).