Cho đường tròn (O). Các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $BA$ và DC cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H,{\rm{ }}K\;\] lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $MA = MC$.

Câu hỏi trong đề: 10 bài tập Các bài toán về chứng minh (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho đường tròn (O). Các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $BA$ và DC cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H,{\rm{ }}K\;\] lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $MA = MC$. (ảnh 1)$

Ta có $AB = CD$ (gt) $ \Rightarrow OH = OK$ (liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm)

Xét tam giác vuông \[MHO\] theo định lí Pythagore: $M{H^2} = M{O^2} - O{H^2}$

Tương tự với $\Delta MKO$, ta có $M{K^2}{\rm{ = }}M{O^2} - O{K^2}{\rm{ }}$mà $OH = OK \Rightarrow MH = MK{\rm{ }}$ (1)

Lại có $OH \bot AB$ (gt) $ \Rightarrow HA = HB = \frac{{AB}}{2}$

Tương tự $KC = KD = \frac{{CD}}{2}$ mà $AB = CD$$ \Rightarrow HA = CK$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow MH - HA = MK - CK$

hay $MA = MC$.

Nhận xét: Trường hợp hai dây $AB,CD$ không bằng nhau, chằng hạn $AB > CD$ ta có bài toán sau:

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ điểm $P$ nằm bên ngoài đường tròn ($O;R$) và $OP = 2R$. Một đường thẳng qua $P$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$ ($A$ nằm giữa $B$ và $P$) và $AB = R$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $BP$. Qua $P$ kẻ một đường thẳng khác cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D$ (C, $D$ khác phía với $AB$ so với $OP$). Kẻ $OK \bot CD$. So sánh $AB$ và $CD$ biết $OK < \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$.

Xem đáp án

Lời giải

$Mà $AB > CD(gt) \Rightarrow OH < OK \Rightarrow MH > MK$. (ảnh 1)$

Ta có ${\rm{OH}} \bot {\rm{BP}}$. Tam giác $A{\rm{OB}}$ cân tại ${\rm{O}}$ nên đường cao ${\rm{OH}}$ đồng thời là đường tuyến H là trung điểm của AB:

${\rm{HA}} = {\rm{HB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{\rm{R}}}{2}{\rm{.\;}}$

Xét tam giác vuông AHO ta có:

${\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^3} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{\rm{R}}^2} - {{\left( {\frac{{\rm{R}}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}$

Mà ${\rm{OK}} < \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow {\rm{OK}} < {\rm{OH}} \Rightarrow {\rm{AB}} < {\rm{CD}}$.

Câu 2

Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. M là điểm cố định nằm trong đường tròn ( $M$ khác $O$ ) và \[CD\] là dây cung quay quanh $M$. Gọi \[H,{\rm{ }}K\]lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ lên $CD$. Xác định vị trí của dây CD để $AH + BK$ lớn nhất.

Hướng dẫn: Kẻ $OI \bot CD$.

Xem đáp án

Lời giải

Chúng ta sẽ có bài toán sau: (ảnh 1)

Ta có \[AH,{\rm{ }}BK\] cùng vuông góc với \[CD\]

$ \Rightarrow $ Tứ giác \[ABKH\] là hình thang và có \[OI\] là đường trung bình

$OI = \frac{{AH + BK}}{2} \Rightarrow AH + BK = 2OI$

Ta có $OI \le OM$ (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Dấu " =" xảy ra khi $OM \bot CD$

Câu 3