Cho đường tròn (O). Các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $BA$ và DC cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H,{\rm{ }}K\;\] lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $MA = MC$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Cung và dây của một đường tròn lớp 9 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho đường tròn (O). Các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $BA$ và DC cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H,{\rm{ }}K\;\] lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $MA = MC$. (ảnh 1)$

Ta có $AB = CD$ (gt) $ \Rightarrow OH = OK$ (liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm)

Xét tam giác vuông \[MHO\] theo định lí Pythagore: $M{H^2} = M{O^2} - O{H^2}$

Tương tự với $\Delta MKO$, ta có $M{K^2}{\rm{ = }}M{O^2} - O{K^2}{\rm{ }}$mà $OH = OK \Rightarrow MH = MK{\rm{ }}$ (1)

Lại có $OH \bot AB$ (gt) $ \Rightarrow HA = HB = \frac{{AB}}{2}$

Tương tự $KC = KD = \frac{{CD}}{2}$ mà $AB = CD$$ \Rightarrow HA = CK$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow MH - HA = MK - CK$

hay $MA = MC$.

Nhận xét: Trường hợp hai dây $AB,CD$ không bằng nhau, chằng hạn $AB > CD$ ta có bài toán sau:

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho điểm ${\rm{A}}$cố định ở bên trong đường tròn $\left( {{\rm{O}};R} \right)$ và ${\rm{A}}$ không trùng với ${\rm{O}}$. ${\rm{BC}}$ là dây cung quay quanh ${\rm{A}}$. Xác định vị trí của dây cung ${\rm{BC}}$ lúc dây cung ${\rm{BC}}$ ngắn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

$Ta có \({\rm{OH}} \bot {\rm{BP (ảnh 1)$

Kẻ ${\rm{OH}} \bot {\rm{BC}}\,\,({\rm{H}}$ thuộc ${\rm{BC}}$).

Ta có ${\rm{OH}} \le {\rm{OA}}$ (không đổi)

${\rm{BC}}$ngắn nhất thì ${\rm{OH}}$ lớn nhất nên ${\rm{OH}} = {\rm{OA}}$ hay ${\rm{H}} \equiv {\rm{A}}$.

Vậy khi BC vuông góc với OA tại A thì độ dài dây${\rm{BC}}$ ngắn nhất.

Câu 2

Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $MN$ < $BC$.

Xem đáp án

Lời giải

$$ \Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB$ (đpcm). (ảnh 1)$

Dễ thấy các tam giác \[BMC\] và \[BNC\] đều là các tam giác vuông lần luợt tại $M$ và $N$ và $OM,ON$ lần luợt là các trung tuyến.

Ta có $OM = ON = OB = OC( = R$, trong đó \[R\] là bán kính đường tròn đường kính $BC$ )

Xét tam giác \[MON\], ta có $MN < OM + ON$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà$OM + ON = OB + OC = BC$.

Vậy $MN < BC$.

Ta có thể kết luận theo bài học: “Trong một đường tròn dây lớn nhất là đường kính”.

Câu 3