Cho đường tròn (O). Các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $BA$ và DC cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H,{\rm{ }}K\;\] lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $MA = MC$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Cung và dây của một đường tròn lớp 9 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho đường tròn (O). Các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $BA$ và DC cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H,{\rm{ }}K\;\] lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $MA = MC$. (ảnh 1)$

Ta có $AB = CD$ (gt) $ \Rightarrow OH = OK$ (liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm)

Xét tam giác vuông \[MHO\] theo định lí Pythagore: $M{H^2} = M{O^2} - O{H^2}$

Tương tự với $\Delta MKO$, ta có $M{K^2}{\rm{ = }}M{O^2} - O{K^2}{\rm{ }}$mà $OH = OK \Rightarrow MH = MK{\rm{ }}$ (1)

Lại có $OH \bot AB$ (gt) $ \Rightarrow HA = HB = \frac{{AB}}{2}$

Tương tự $KC = KD = \frac{{CD}}{2}$ mà $AB = CD$$ \Rightarrow HA = CK$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow MH - HA = MK - CK$

hay $MA = MC$.

Nhận xét: Trường hợp hai dây $AB,CD$ không bằng nhau, chằng hạn $AB > CD$ ta có bài toán sau:

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $MN$ < $BC$.

Xem đáp án

Lời giải

$$ \Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB$ (đpcm). (ảnh 1)$

Dễ thấy các tam giác \[BMC\] và \[BNC\] đều là các tam giác vuông lần luợt tại $M$ và $N$ và $OM,ON$ lần luợt là các trung tuyến.

Ta có $OM = ON = OB = OC( = R$, trong đó \[R\] là bán kính đường tròn đường kính $BC$ )

Xét tam giác \[MON\], ta có $MN < OM + ON$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà$OM + ON = OB + OC = BC$.

Vậy $MN < BC$.

Ta có thể kết luận theo bài học: “Trong một đường tròn dây lớn nhất là đường kính”.

Câu 2

Cho điểm ${\rm{A}}$cố định ở bên trong đường tròn $\left( {{\rm{O}};R} \right)$ và ${\rm{A}}$ không trùng với ${\rm{O}}$. ${\rm{BC}}$ là dây cung quay quanh ${\rm{A}}$. Xác định vị trí của dây cung ${\rm{BC}}$ lúc dây cung ${\rm{BC}}$ ngắn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

$Ta có \({\rm{OH}} \bot {\rm{BP (ảnh 1)$

Kẻ ${\rm{OH}} \bot {\rm{BC}}\,\,({\rm{H}}$ thuộc ${\rm{BC}}$).

Ta có ${\rm{OH}} \le {\rm{OA}}$ (không đổi)

${\rm{BC}}$ngắn nhất thì ${\rm{OH}}$ lớn nhất nên ${\rm{OH}} = {\rm{OA}}$ hay ${\rm{H}} \equiv {\rm{A}}$.

Vậy khi BC vuông góc với OA tại A thì độ dài dây${\rm{BC}}$ ngắn nhất.

Câu 3