Cho nửa đường tròn đường kính $AB$ và một điểm $M$ tuỳ ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ $M$ đến $AB$ không lớn hơn $\frac{{AB}}{2}$.

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với $a,b \ge 0$, ta có $\sqrt {ab} \le \frac{{a + b}}{2}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10 bài tập Các bài toán về chứng minh (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$$ \Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB$ (đpcm). (ảnh 1)$

Gọi khoảng cách từ $M$ đến $AB$ là $MH$ và bán kính đường tròn \[\left( O \right)\] là $R$. Ta có $OM = OA = OB( = R)$.

Đó đó $\Delta AMB$ vuông tại $M$.

Ta có $\Delta MHA$$\Delta BHM(g \cdot g) \Rightarrow \frac{{MH}}{{HA}} = \frac{{BH}}{{HM}}$

$ \Rightarrow MH = \sqrt {HA \cdot HB} \le \frac{{HA + HB}}{2} \le \frac{{AB}}{2}$

$ \Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB$ (đpcm).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ điểm $P$ nằm bên ngoài đường tròn ($O;R$) và $OP = 2R$. Một đường thẳng qua $P$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$ ($A$ nằm giữa $B$ và $P$) và $AB = R$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $BP$. Qua $P$ kẻ một đường thẳng khác cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D$ (C, $D$ khác phía với $AB$ so với $OP$). Kẻ $OK \bot CD$. So sánh $AB$ và $CD$ biết $OK < \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$.

Xem đáp án

Lời giải

$Mà $AB > CD(gt) \Rightarrow OH < OK \Rightarrow MH > MK$. (ảnh 1)$

Ta có ${\rm{OH}} \bot {\rm{BP}}$. Tam giác $A{\rm{OB}}$ cân tại ${\rm{O}}$ nên đường cao ${\rm{OH}}$ đồng thời là đường tuyến H là trung điểm của AB:

${\rm{HA}} = {\rm{HB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{\rm{R}}}{2}{\rm{.\;}}$

Xét tam giác vuông AHO ta có:

${\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^3} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{\rm{R}}^2} - {{\left( {\frac{{\rm{R}}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}$

Mà ${\rm{OK}} < \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow {\rm{OK}} < {\rm{OH}} \Rightarrow {\rm{AB}} < {\rm{CD}}$.

Câu 2

Cho đường tròn $(O)$đường kính $AB$, dây $CD$ cắt đường kính $AB$ tại $E$. Gọi $H,K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CH = DK$.

Xem đáp án

Lời giải

$Trường hợp dây $CD$ cắt đường kính $AB$ đưa ta đến bài toán 4 sau đây. (ảnh 1)$

Kẻ $OI \bot CD$ ta có $IC = ID$ (tam giác $COD$cân tại $O$ nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Gọi M là giao điểm của OI và $AK$ ta có $M$ là trung điểm của \[AK\].

Xét $\Delta AKH$ có $M$ là trung điểm của \[AK\]

\[MI{\rm{\;//}}AH\](vì cùng $ \bot CD$)

$ \Rightarrow $ \[I\] là trung điểm của \[HK\] hay $IH = IK$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow IC - IH = ID - IK$ hay $CH = DK$

Nhận xét: Theo bài toán 1. Trên dây \[CD\] ta lấy thêm điểm \[M\].

Khi đó $OI \le OM$. Mà $OM = \frac{{AH + BK}}{2}$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

$ \Rightarrow AH + BK \le 2OM$.

Câu 3