Cho đường tròn $(O)$ đuờng kính $AB$, dây $CD$ không cắt đường kính $AB$. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CH = DK.$

Câu hỏi trong đề: 10 bài tập Các bài toán về chứng minh (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Kẻ \[OI\] $ \bot CD$, tam giác \[COD\] cân tại $O$ nên đường cao \[OI\] đường thời đường trung tuyến $ \Rightarrow IC = ID$.

Lại có \[AHKB\] là hình thang vuông.

($AH{\rm{//}}BK( \bot HK)$) mà \[OI\] là đường trung bình nên \[I\] là trung điểm của \[HK\] ta có $IH = IK$

$ \Rightarrow HI - CI = KI - ID{\rm{ hay }}CH = DK$

$Dễ thấy các tam giác \[BMC\] và \[BNC\] đều là các tam giác (ảnh 1)$

Nhận xét: Do $HI = KI$ và \[IC\; = ID\] nên ta có $HI + ID = IK + IC$ hay $HD = KC$. Ta có bài toán sau:

Cho đường tròn $(O)$đường kính $AB$, dây $CD$ không cắt đường kính $AB$. Gọi $H,K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ $A,B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $HD = CK$ (Học sinh tự giải).

Trường hợp dây $CD$ cắt đường kính $AB$ đưa ta đến bài toán 4 sau đây.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $MN$ < $BC$.

Lời giải

$$ \Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB$ (đpcm). (ảnh 1)$

Dễ thấy các tam giác \[BMC\] và \[BNC\] đều là các tam giác vuông lần luợt tại $M$ và $N$ và $OM,ON$ lần luợt là các trung tuyến.

Ta có $OM = ON = OB = OC( = R$, trong đó \[R\] là bán kính đường tròn đường kính $BC$ )

Xét tam giác \[MON\], ta có $MN < OM + ON$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà$OM + ON = OB + OC = BC$.

Vậy $MN < BC$.

Ta có thể kết luận theo bài học: “Trong một đường tròn dây lớn nhất là đường kính”.

Câu 2

Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. M là điểm cố định nằm trong đường tròn ( $M$ khác $O$ ) và \[CD\] là dây cung quay quanh $M$. Gọi \[H,{\rm{ }}K\]lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ lên $CD$. Xác định vị trí của dây CD để $AH + BK$ lớn nhất.

Hướng dẫn: Kẻ $OI \bot CD$.

Lời giải

Chúng ta sẽ có bài toán sau: (ảnh 1)

Ta có \[AH,{\rm{ }}BK\] cùng vuông góc với \[CD\]

$ \Rightarrow $ Tứ giác \[ABKH\] là hình thang và có \[OI\] là đường trung bình

$OI = \frac{{AH + BK}}{2} \Rightarrow AH + BK = 2OI$

Ta có $OI \le OM$ (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Dấu " =" xảy ra khi $OM \bot CD$

Câu 3