Cho \(M\) là điểm nằm bên trong đường tròn \((O)\), vẽ qua \(M\), hai dây \(AB\) và \(CD\) sao cho \(AB > CD\). Gọi \(H,K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng: \(MH > MK.\)

Ta có \({\rm{OH}} \bot {\rm{BP}}\). Tam giác \(A{\rm{OB}}\) cân tại \({\rm{O}}\) nên đường cao \({\rm{OH}}\) đồng thời là đường tuyến H là trung điểm của AB:

\({\rm{HA}} = {\rm{HB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{\rm{R}}}{2}{\rm{.\;}}\)

Xét tam giác vuông AHO ta có:

\({\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^3} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}}  = \sqrt {{{\rm{R}}^2} - {{\left( {\frac{{\rm{R}}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \({\rm{OK}} < \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow {\rm{OK}} < {\rm{OH}} \Rightarrow {\rm{AB}} < {\rm{CD}}\).

Ta có \[AH,{\rm{ }}BK\] cùng vuông góc với \[CD\]

\( \Rightarrow \) Tứ giác \[ABKH\] là hình thang và có \[OI\] là đường trung bình

\(OI = \frac{{AH + BK}}{2} \Rightarrow AH + BK = 2OI\)

Ta có \(OI \le OM\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)