Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Một điểm M di động trên nửa đường tròn này, qua M vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Hãy xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O ; R) sao cho 3AC + BD nhỏ nhất.

Câu hỏi trong đề: 26 bài tập Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Một điểm M di động trên nửa đường tròn này, qua M vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt tại C và D. (ảnh 1)

Ta có CM và CA là hai tiếp tuyến nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Tương tự \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\)

Mà \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \]\( \Rightarrow \)\(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = 90^\circ \)

Hay tam giác COD vuông tại O

CD là tiếp tuyến tại M nên \(CD \bot OM\)

Xét \(\Delta CMO\) và \(\Delta OMD\)có:

\(\widehat {CMO} = \widehat {DMO} = 90^\circ \), \(\widehat {{O_2}} = \widehat {CDO}\) (cùng phụ với góc DCO)

Nên (g.g)

\( \Rightarrow \)\(\frac{{CM}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{MD}}\)

\( \Rightarrow \)\(CM.DM = O{M^2} = {R^2}\) (không đổi)

Mà CM = AC, DM = BD \( \Rightarrow \)\(AC.BD = {R^2}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

\(\frac{{3AC + BD}}{2} \ge \sqrt {3.AC.BD} \)

\(3AC + BD \ge 2\sqrt {3.AC.BD} \)

\(3AC + BD \ge 2\sqrt 3 .R\)

Dấu “=” xảy ra khi \(3AC = BD = \sqrt 3 .R\) nên \(\widehat {AOC} = 30^\circ \) hay \(\widehat {AOM} = 60^\circ \).

Vậy M di động ở trên (O) sao cho \(\widehat {AOM} = 60^\circ \) thì 3AC + BD nhỏ nhất.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm B và C.

a) Chứng minh AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

b) Chứng minh AB=AC.

c) Xác định tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] và \[\widehat {BOC}\]

Xem đáp án

Lời giải

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm B và C. a) Chứng minh AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R). (ảnh 1)

a) Gọi I là tâm của đường tròn đường kính OA, ta có I là trung điểm của OA

Đường tròn đường kính OA cắt đường tròn (O; R) tại B và C nên ta có \[IA = IB = IO = \frac{{OA}}{2}\].

Xét tam giác ABO có \[IB = \frac{{OA}}{2}\] (cmt) nên tam giác ABO vuông tại B hay AB ^ OB.

Chứng minh tương tự, ta có AC ^ OC mà B,C Î (O)

Do đó AB và AC là hai tiếp tuyến của dường tròn (O; R).

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một diểm, ta có AB=AC.

c) Tia phân giác của góc BAC và góc BOC là tia OA.

Câu 2

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến tại A và B với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến tại A và B lẩn lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng: CD = CA + BD; \[\widehat {COD} = 90^\circ .\]

b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có CA = CM; DB = DM (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(CD = CM + DM \Rightarrow CD = CA + BD\)

Lại có CO và DO là các tia phân giác của góc kề bù \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BOM}\) nên \(\widehat {COD} = 90^\circ .\)

b) Gọi I là trung điểm của CD ta có OI là đường trung tuyến cua tam giác vuông COD nên \[IO = IC = ID\] hay I là tâm của đuờng tròn đường kính CD.

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang vuông có OI là đường trung bình nên IO // AC và BD mà AC và BD cùng vuông góc với AB (gt)

Þ IO ^ AB.

Chứng tỏ AB là tiếp tuyến cúa đường tròn đường kính CD.

Câu 3