Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Một điểm M di động trên nửa đường tròn này, qua M vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có CM và CA là hai tiếp tuyến nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)
Tương tự \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\)
Mà \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \]\( \Rightarrow \)\(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = 90^\circ \)
Hay tam giác COD vuông tại O
CD là tiếp tuyến tại M nên \(CD \bot OM\)
Xét \(\Delta CMO\) và \(\Delta OMD\)có:
\(\widehat {CMO} = \widehat {DMO} = 90^\circ \), \(\widehat {{O_2}} = \widehat {CDO}\) (cùng phụ với góc DCO)
Nên (g.g)
\( \Rightarrow \)\(\frac{{CM}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{MD}}\)
\( \Rightarrow \)\(CM.DM = O{M^2} = {R^2}\) (không đổi)
Mà CM = AC, DM = BD \( \Rightarrow \)\(AC.BD = {R^2}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
\(\frac{{3AC + BD}}{2} \ge \sqrt {3.AC.BD} \)
\(3AC + BD \ge 2\sqrt {3.AC.BD} \)
\(3AC + BD \ge 2\sqrt 3 .R\)
Dấu “=” xảy ra khi \(3AC = BD = \sqrt 3 .R\) nên \(\widehat {AOC} = 30^\circ \) hay \(\widehat {AOM} = 60^\circ \).
Vậy M di động ở trên (O) sao cho \(\widehat {AOM} = 60^\circ \) thì 3AC + BD nhỏ nhất.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập