Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Một điểm M di động trên nửa đường tròn này, qua M vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Hãy xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O ; R) sao cho 3AC + BD nhỏ nhất.

Câu hỏi trong đề: 26 bài tập Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Một điểm M di động trên nửa đường tròn này, qua M vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt tại C và D. (ảnh 1)

Ta có CM và CA là hai tiếp tuyến nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Tương tự \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\)

Mà \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \]\( \Rightarrow \)\(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = 90^\circ \)

Hay tam giác COD vuông tại O

CD là tiếp tuyến tại M nên \(CD \bot OM\)

Xét \(\Delta CMO\) và \(\Delta OMD\)có:

\(\widehat {CMO} = \widehat {DMO} = 90^\circ \), \(\widehat {{O_2}} = \widehat {CDO}\) (cùng phụ với góc DCO)

Nên (g.g)

\( \Rightarrow \)\(\frac{{CM}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{MD}}\)

\( \Rightarrow \)\(CM.DM = O{M^2} = {R^2}\) (không đổi)

Mà CM = AC, DM = BD \( \Rightarrow \)\(AC.BD = {R^2}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

\(\frac{{3AC + BD}}{2} \ge \sqrt {3.AC.BD} \)

\(3AC + BD \ge 2\sqrt {3.AC.BD} \)

\(3AC + BD \ge 2\sqrt 3 .R\)

Dấu “=” xảy ra khi \(3AC = BD = \sqrt 3 .R\) nên \(\widehat {AOC} = 30^\circ \) hay \(\widehat {AOM} = 60^\circ \).

Vậy M di động ở trên (O) sao cho \(\widehat {AOM} = 60^\circ \) thì 3AC + BD nhỏ nhất.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) dây BC khác đường kính, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở A Chứng minh rằng AC la tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải

Cho đường tròn (O) dây BC khác đường kính, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở A Chứng minh rằng AC la tiếp tuyến của đường tròn (O). (ảnh 1)

Gọi H là giao điểm của OA và BC

ΔBOC cân tại O có OH là đường cao (gt)

nên đồng thời là đường phân giác: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Xét ΔACO và ΔABO có: OB = OC = R,

\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)(cmt), AO chung

=> ΔACO = ΔABO (c.g.c) =>\(\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = {90^o}\)

Chứng tỏ AC là tiếp tuyến của (O).

Câu 2

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung tròn trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung BC thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi.

Lời giải

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung tròn trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. (ảnh 1)