Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ một đường thả̉ng $d$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại hai điểm $D$ và $E$. Một điểm $A$ di động trên đường thả̉ng $d$ và $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$, kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ đến đường tròn ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $I$ là trung điểm của $DE$, đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Chứng minh rằng: Khi $A$ di động trên đường thả̉ng $d$ thì $BC$ luôn đi qua một điểm cố định.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 26 bài tập Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$a) Ta có $AC$, $AH$ là tiếp tuyến c (ảnh 1)$

$I$ là trung điểm của $DE\left( {gt} \right) \Rightarrow OI \bot DE$ hay $\Delta OIA$ vuông tại $I$

Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

Ta có $\Delta OHN$ vuông tại $H$

Ta có $Δ O H N ∽ Δ O I A$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{ON}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{OI}} \Rightarrow ON = \frac{{OA.OH}}{{OI}}$.

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta HBO$ có: $\widehat {ABO} = \widehat {BOH} = 90^\circ $, $\widehat {AOB}{\rm{\;}}$ chung.

Do đó $Δ A B O ∽ Δ B H O$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{OB}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OB}}$ $ \Rightarrow OA.OH = O{B^2} = {R^2}$

Do đó $ON = \frac{{{R^2}}}{{OI}}$ (không đổi), $d$ cho trước, $O$ cố định $ \Rightarrow I$ cố định $ \Rightarrow N$ cố định.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) dây BC khác đường kính, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở A Chứng minh rằng AC la tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải

Cho đường tròn (O) dây BC khác đường kính, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở A Chứng minh rằng AC la tiếp tuyến của đường tròn (O). (ảnh 1)

Gọi H là giao điểm của OA và BC

ΔBOC cân tại O có OH là đường cao (gt)

nên đồng thời là đường phân giác: $\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$

Xét ΔACO và ΔABO có: OB = OC = R,

$\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$(cmt), AO chung

=> ΔACO = ΔABO (c.g.c) =>$\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = {90^o}$

Chứng tỏ AC là tiếp tuyến của (O).

Câu 2

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung tròn trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung BC thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi.

Lời giải

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung tròn trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. (ảnh 1)