Cho đường tròn $\left( {O;5{\rm{\;}}cm} \right)$. Điểm $M$ nằm ngoài $\left( O \right)$ sao cho hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ ($A$, $B$ là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại $M$.

a) Tính độ dài của $MA$ và $MB$.

b) Qua giao điểm $I$ của đoạn thẳng $MO$ và đường tròn $\left( O \right)$, vẽ một tiếp tuyến cắt $MA$, $MB$ lần lượt tại $C$, $D$. Tính độ dài của $CD$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 12 bài tập Tính toán (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$a) Dễ thấy tứ giác $MBOA$ là hình chữ nhật (có ba góc vuông) (ảnh 1)$

a) Dễ thấy tứ giác $MBOA$ là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

Lại có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $MBOA$ là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông)$ \Rightarrow MA = MB = 5{\rm{\;}}cm{\rm{.\;}}$

b) $DB$ và $DI$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OD$ là tia phân giác của $\widehat {MOB} = {45^ \circ }$ $ \Rightarrow \widehat {DOB} = \widehat {DOI} = \frac{{45^\circ }}{2} = 22,5^\circ $.

Xét tam giác $DBO$ vuông tại $B$, có $\widehat {DOB} = 22,5^\circ $ và cạnh góc vuông $OB = 5{\rm{\;}}cm$.

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\[BD = OB \cdot \tan \widehat {DOB} = 5 \cdot \tan 22,5^\circ \approx 2,1\,\,\left( {cm} \right)\] $ \Rightarrow DI = DB \approx 2,1\,\,\left( {cm} \right)$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có $MD = MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Tam giác $DMC$ cân có $MI$ là đường cao nên đồng thời là trung tuyếr. Hay $IC = DI \approx 2,1$ (cm) $ \Rightarrow CD = 2.2,1 \approx 4,2\,\,\left( {cm} \right)$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$ với $OA = 2R$. Vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ đến đường tròn ($B$, $C$ là tiếp điểm). Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều và tính các cạnh của nó theo $R$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho đường tròn $\left( O \right)$, điểm $M$ nằm n (ảnh 1)$

$\Delta ABO$ vuông tại $B$ (tính chất tiếp tuyến)

Ta có ${\rm{sin}}{A_1} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {{A_1}} = {30^ \circ } \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^ \circ }$

$A{B^2} = A{O^2} - O{B^2}$$ = {(2R)^2} - {R^2} = 3{R^2}$ $ \Rightarrow AB = R\sqrt 3 $

$\Delta ABC$ cân (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) có $\widehat {BAC} = {60^ \circ }$ nên là tam giác đều $ \Rightarrow AC = BC = AB = R\sqrt 3 $.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = AC = 10{\rm{\;}}cm$, $BC = 12{\rm{\;}}cm$ và $I$ là tâm của đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$. Tính bán kính của đường tròn $\left( I \right)$.

Huớng dã̃n: Theo bài 36. Để tính bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ ta tính diện tích của tam giác $\left( S \right)$ và nửa chu vi $\left( p \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

$Nhận xét: Theo bài toán 36 trên. Gọi $r$ là bán kính đườn (ảnh 1)$

$\Delta ABC$ cân tại $A$, kẻ đường cao $AH$ ta có $AH$ đồng thời là đường trung tuyến

$HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\,\,\left( {cm} \right)$Theo định lí Pythagore:

$A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {10^2} - {6^2}$

$ \Rightarrow AH = 8\left( {cm} \right)$.

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH$$ = \frac{1}{2}.12.8 = 48\left( {c{m^2}} \right)$

$P = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = 16\left( {cm} \right)$.

Vậy $r = \frac{{48}}{{16}} = 3\left( {cm} \right)$.

Cách khác:

$\Delta ABC$ cân nên đường cao $AH$cũng đồng thời là đường phân giác, $I$ là tâm của đường tròn nội tiếp nên$CI$là phân giác của $\Delta AHC$.

Ta có $\frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{CA}}{{CH}} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}$

$ \Rightarrow \frac{{IA}}{5} = \frac{{IH}}{3} = \frac{{IA + IH}}{{5 + 3}} = \frac{{AH}}{8} = 1$

$ \Rightarrow \frac{{IH}}{3} = 1 \Rightarrow IH = 3\left( {cm} \right)$.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ là $3\left( {cm} \right)$.

Chú ý: Đối với một tam giác tùy ý ta có thể chứng minh công thức diện tích sau đây:

$S = p.r$ ($p = \frac{{a + b + c}}{2}$: nửa chu vi, $r$là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác) (Xem cách chứng minh bài toán 36).

Câu 3