Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 10{\rm{\;}}cm\), \(BC = 12{\rm{\;}}cm\) và \(I\) là tâm của đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\). Tính bán kính của đường tròn \(\left( I \right)\).

Huớng dã̃n: Theo bài 36. Để tính bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) ta tính diện tích của tam giác \(\left( S \right)\) và nửa chu vi \(\left( p \right)\).

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\), kẻ đường cao \(AH\) ta có \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến

\(HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\,\,\left( {cm} \right)\)Theo định lí Pythagore:

\(A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {10^2} - {6^2}\)

\( \Rightarrow AH = 8\left( {cm} \right)\).

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH\)\( = \frac{1}{2}.12.8 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)

\(P = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = 16\left( {cm} \right)\).

Vậy \(r = \frac{{48}}{{16}} = 3\left( {cm} \right)\).

Cách khác:

\(\Delta ABC\) cân nên đường cao \(AH\)cũng đồng thời là đường phân giác, \(I\) là tâm của đường tròn nội tiếp nên\(CI\)là phân giác của \(\Delta AHC\).

Ta có \(\frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{CA}}{{CH}} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{IA}}{5} = \frac{{IH}}{3} = \frac{{IA + IH}}{{5 + 3}} = \frac{{AH}}{8} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{IH}}{3} = 1 \Rightarrow IH = 3\left( {cm} \right)\).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là \(3\left( {cm} \right)\).

Chú ý: Đối với một tam giác tùy ý ta có thể chứng minh công thức diện tích sau đây:

\(S = p.r\) (\(p = \frac{{a + b + c}}{2}\): nửa chu vi, \(r\)là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của tam giác) (Xem cách chứng minh bài toán 36).