Cho hình “viên phân” (phần màu xanh) được giới hạn bởi dây cung có độ dài \[55{\rm{\;cm}}\] và cung có số đo \[95^\circ \] (như hình dưới đây).

Diện tích hình viên phân đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là bao nhiêu cm²?

Đáp án: 460

Kẻ \[OH \bot AB\] tại \[H.\]

Tam giác \[OAB\] cân tại \[O\] (do \[OA = OB = R\]) có \[OH\] là đường cao, suy ra \[OH\] cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \[H\] là trung điểm \[AB.\]

Vì vậy \[HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{55}}{2} = {\rm{27}}{\rm{,5\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Tam giác \[OAB\] cân tại \[O\] có \[OH\] là đường cao, suy ra \[OH\] cũng là đường phân giác của tam giác.

Do đó \[\widehat {BOH} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{95^\circ }}{2} = 47,5^\circ .\]

Vì tam giác \[OBH\] vuông tại \[H\] nên:

⦁ \[\sin \widehat {BOH} = \frac{{HB}}{{OB}},\] suy ra \[OB = \frac{{HB}}{{\sin \widehat {BOH}}} = \frac{{27,5}}{{\sin 47,5^\circ }}{\rm{\;(cm);}}\]

⦁ \[\tan \widehat {BOH} = \frac{{HB}}{{OH}},\] suy ra \[OH = \frac{{HB}}{{\tan \widehat {BOH}}} = \frac{{27,5}}{{\tan 47,5^\circ }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Diện tích tam giác \[OAB\] là:

\[{S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{27,5}}{{\tan 47,5^\circ }} \cdot 55 = \frac{{3025}}{{4 \cdot \tan 47,5^\circ }} \approx 693{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Diện tích hình quạt tròn \[AOB\] là:

\[{S_{hqAOB}} = \frac{n}{{360}} \cdot \pi {R^2} = \frac{{95}}{{360}} \cdot \pi \cdot O{B^2} = \frac{{19}}{{72}} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{{27,5}}{{\sin 47,5^\circ }}} \right)^2} \approx 1\,\,153{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Khi đó, diện tích hình viên phân cần tìm là:

\[S = {S_{hqAOB}} - {S_{\Delta OAB}} \approx 1\,\,153 - 693 \approx 460{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]