(4,0 điểm)

Người ta dùng một mảnh vải hình tròn để phủ lên một chiếc bàn hình tròn, mặt bàn có diện tích \(2025\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), phần khăn rủ xuống khỏi mép bàn dài \[25\,\,{\rm{cm}}.\]

a) Tính bán kính mặt bàn.

b) Tính diện tích chiếc khăn trải bàn này. (lấy \(\pi  \approx 3,14\), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Gọi chiều rộng (và chiều sâu) của hầm là \(x\) (\(m\); \(x > 0\))

Gọi chiều dài của hầm là \(y\) (\(m\); \(y > 0\))

Thể tích của hầm là: \(V = x.x.y = 27\,\)\(\left( {{m^3}} \right)\).

Suy ra \(y = \frac{{27}}{{{x^2}}}\) \((m)\).

Biểu thức biểu thị diện tích toàn phần của hầm là:

\(2x \cdot x + 2x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} + 2 \cdot x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2\left( {{x^2} + \frac{{54}}{x}} \right) = 2 \cdot A\).

Ta có: \(A + 9 = {x^2} + \frac{{27}}{x} + \frac{{27}}{x} + 9\)

\({\left( {\sqrt {{x^2}}  - \sqrt {\frac{{27}}{x}} } \right)^2} \ge 0\) nên \({x^2} + \frac{{27}}{x} \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}} \)

\[{\left( {\sqrt {\frac{{27}}{x}}  - \sqrt 9 } \right)^2} \ge 0\] nên \[\frac{{27}}{x} + 9 \ge 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9} \]

Suy ra \(A + 9 \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}}  + 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9} \)

\(A + 9 \ge 2\sqrt {27x}  + 2\sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}} \).

\(A + 9 \ge 4\sqrt {\sqrt {27x}  \cdot \sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}} }  = 4 \cdot 9\)

\(A + 9 \ge 36\)

\(A \ge 27\)

Đẳng thức xảy ra khi \({x^2} = \frac{{27}}{x} = 9\) nên \(x = 3\).

Vậy khi chiều rộng là \(3\,m\) và chiều dài là \(\frac{{27}}{{{3^2}}} = 3\,\,\left( m \right)\) thi công hầm sẽ tiết kiệm nguyên liệu nhất.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg táo và số kg cam mà bác Mai nhập \(\left( {x \in {\mathbb{N}^ * },\,y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(x + y = 100\) \(\left( 1 \right)\)

Vì sau khi bán hết hai loại quả trên với giá \(50\,\,000\) đồng/kg táo và \(30\,\,000\) đồng/kg cam thì thu được số tiền là \(42\,\,000\,\,000\) đồng ta có phương trình: 

\(50\,\,000x + 30\,\,000y = 42\,\,000\,\,000\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\50\,\,000x + 30\,\,000y = 42\,\,000\,\,000\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\5x + 3y = 420\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 100 - y\\5\left( {100 - y} \right) + 3y = 420\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\,\left( 3 \right)\) ta có: \(500 - 5y + 3y = 420\) hay \(2y = 80\) suy ra \(y = 40\) (TMĐK).

Khi đó \(x = 60\)(TMĐK)

Vậy bác Mai nhập \(60\,\,{\rm{kg}}\) táo và \(40\,\,{\rm{kg}}\) cam.