Vẽ đồ thị hàm số \(y=-2{x}^{2}\) trên mặt phẳng tọa độ và tìm trên đồ thị các điểm khác gốc tọa độ, có hoành độ bằng nửa tung độ.

Với \(x≥0, x≠1.\)

\(1+\frac{\sqrt[]{x}}{x+1}=\frac{x+\sqrt[]{x}+1}{x+1}\)

\(\frac{1}{\sqrt[]{x}-1}-\frac{2\sqrt[]{x}}{x\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x}-x-1}=\frac{1}{\sqrt[]{x}-1}-\frac{2\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}\left. x+1 \right.-\left. x+1 \right.}\)

\(=\frac{x+1}{\sqrt[]{x}-1}:\frac{2\sqrt[]{x}}{\left. \sqrt[]{x}-1 \right.\left. x+1 \right.}=\frac{x-2\sqrt[]{x}+1}{\left. \sqrt[]{x}-1 \right.\left. x+1 \right.}=\frac{{\left. \sqrt[]{x}-1 \right.}^{2}}{\left. \sqrt[]{x}-1 \right.\left. x+1 \right.}=\frac{\sqrt[]{x}-1}{x+1}\)

\(Q=\left. 1+\frac{\sqrt[]{x}}{x+1} \right.:\left. \frac{1}{\sqrt[]{x}-1}-\frac{2\sqrt[]{x}}{x\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x}-x-1} \right.=\frac{x+1+\sqrt[]{x}}{x+1}:\frac{\sqrt[]{x}-1}{x+1}=\frac{x+1+\sqrt[]{x}}{x+1}.\frac{x+1}{\sqrt[]{x}-1}=\frac{x+\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-1}\)

\(∆ ={\left. -5 \right.}^{2}-4.1.2=17>0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x}_{1};{x}_{2}\)

Theo định lí Viète ta có: \({x}_{1}+{x}_{2}=5;{x}_{1}.{x}_{2}=2\)

Vì \({x}_{1}+{x}_{2}>0;{x}_{1}.{x}_{2}>0\) nên \({x}_{1}>0;{x}_{2}>0\).

Suy ra, \(\sqrt[]{{9x}_{1}^{2}}+\sqrt[]{{9x}_{2}^{2}}=\left| 3{x}_{1} \right|+\left| 3{x}_{2} \right|=3{x}_{1}+3{x}_{2}=3.\left. {x}_{1}+{x}_{2} \right.=3.5=15\)

Vì \({x}_{1}\) là một nghiệm của phương trình \({x}^{2}-5x+2=0\) nên \({x}_{1}^{2}=5{x}_{1}-2\)

Thay \({x}_{1}^{2}\) vào \({{x}_{1}^{2}.x}_{2}-2{x}_{1}\), biến đổi ta được: \({5x}_{1}{x}_{2}-2\left. {x}_{1}+{x}_{2} \right.=5.2-2.5=0\)

Giá trị của biểu thức \(A=\sqrt[]{{9x}_{1}^{2}}+\sqrt[]{{9x}_{2}^{2}}+{{x}_{1}^{2}.x}_{2}-2{x}_{1}+2011=15+0+2011=2026\)