Trong không gian \(\left( {Oxyz} \right)\), cho một đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {1;0;8} \right)\), \(B\left( {2;1;7} \right)\) và \(C\left( {5;4;5} \right)\). Gọi \(M\) là điểm di động trên đường tròn; \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là khoảng cách từ \(M\) tới mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) và \(\left( {Oxz} \right)\). Hãy xác định giá trị lớn nhất của \({d_1} + 2{d_2}\) (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)đi qua ba điểm \(A\left( {1;0;8} \right)\), \(B\left( {2;1;7} \right)\) và \(C\left( {5;4;5} \right)\)
Ta có các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;4; - 3} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \({\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\)
Phương trình mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)là: \(\left( \alpha \right):x - y - 1 = 0\)
Gọi tâm đường tròn là \(I\left( {x;y;z} \right)\) và do \(I \in \left( \alpha \right) \Rightarrow y = x - 1\)
Do \(I\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác\(ABC\)nên \(I{A^2} = I{B^2}\) và \(I{A^2} = I{C^2}\)
Từ \(I{A^2} = I{B^2}\) \[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1 - 0} \right)^2} + {\left( {z - 8} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {x - 1 - 1} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2}\]\( \Leftrightarrow 4x - 2z + 9 = 0 \Rightarrow 2z = 4x + 9\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Từ \(I{A^2} = I{C^2}\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {z - 8} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {x - 1 - 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 16x - 6z - 9 = 0(2)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)\(16x - 3\left( {4x + 9} \right) - 9 = 0 \Rightarrow x = 9\)
Suy ra \(y = 8\)và \(z = 22,5\) có ttâm \(I\left( {9;8;22,5} \right)\) và bán kính \({R^2} = I{A^2} = 338,25 \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {1353} }}{2}\)
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\)nằm trên đường tròn\(\left( C \right)\), do đó \(M\)thỏa mãn :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x - 1}\\{{{\left( {x - 9} \right)}^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + {{\left( {z - 22,5} \right)}^2} = {R^2} \Leftrightarrow 2{{\left( {x - 9} \right)}^2} + {{\left( {z - 22,5} \right)}^2} = 338,25\left( * \right)}\end{array}} \right.\)
Vì \({\left( {z - 22,5} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(z\), nên từ phương trình \(\left( * \right)\)suy ra :
\(\left( * \right) \Rightarrow 2{\left( {x - 9} \right)^2} \le 338,25 \Leftrightarrow - \sqrt {169,125} \le x - 9 \le \sqrt {169,125} \Leftrightarrow 9 - \sqrt {169,125} \le x \le 9 + \sqrt {169,125} \)
Từ đề bài, ta có: \({d_1}\left( {M,\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| x \right|\) và \({d_2}\left( {M,\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| y \right| = \left| {x - 1} \right|\)
Vậy biểu thức vần tìm là: \(f\left( x \right) = \left| x \right| + 2\left| {x - 1} \right|\)với \(x \in \left[ {9 - \sqrt {169,125} ;9 + \sqrt {169,125} } \right]\)
Đây là hàm số bậc nhất trên từng khoảng (hàm liên tục nhưng không có đạo hàm tại \(x = 0\) và\(x = 1\))
Đồ thị của nó là các đoạn thẳng nối lại với nhau nên giá trị lớn nhất sẽ nằm ở một trong hai đầu mút của đoạn
Tại \(x = 9 - \sqrt {169,125} \Rightarrow f\left( {9 - \sqrt {169,125} } \right) \approx 14\)
Tại \(x = 9 + \sqrt {169,125} \Rightarrow f\left( {9 + \sqrt {169,125} } \right) \approx 64\)
Vậy giá trị lớn nhất là $\boxed{64}$