Cho hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) và hai điểm \(A\left( { - 4;2} \right),\,B\left( {2;8} \right)\).

a) Đúng: Ta có \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

b) Sai: Tiệm cận đứng \(x = 1\), Tiệm cận ngang là \(y = 3\) nên tâm đối xứng \(I\left( {1;3} \right)\).

c) Đúng: \(f\left( 2 \right) = 8;\,f\left( 5 \right) = \frac{{17}}{4}\)nên giá trị nhỏ nhất \(m = \frac{{17}}{4};\,M = 8\) nên \(4m + M = 4.\frac{{17}}{4} + 8 = 25\).

d) Đúng: Điểm \(K\left( {a;b} \right) \in \left( C \right)\) nên \(K\left( {a;\frac{{3a + 2}}{{a - 1}}} \right)\)

\(H \in \left( d \right)\, \Rightarrow H\left( {{x_H};\frac{{ - 5{x_H} - 3}}{4}} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;6} \right)\), \(\overrightarrow {BK}  = \left( {a - 2;\frac{{3a + 2}}{{a - 1}} - 8} \right);\,\overrightarrow {AH}  = \left( {{x_H} + 4;\frac{{ - 5{x_H} - 3}}{4} - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {KH}  = \left( {{x_H} - a;\frac{{ - 5{x_H} - 3}}{4} - \frac{{3a + 2}}{{a - 1}}} \right)\)

Có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {KH}  = 0 \Leftrightarrow {x_H} - a = \frac{{5{x_H} + 3}}{4} + \frac{{3a + 2}}{{a - 1}}\)

\({x_H} - \frac{{5{x_H} + 3}}{4} = \frac{{3a + 2}}{{a - 1}} + a \Leftrightarrow {x_H} =  - 4\left( {\frac{{3a + 2}}{{a - 1}} + a + \frac{3}{4}} \right)\)

Lại có \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BK}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {{x_H} + 4} \right) + \left( {\frac{{3a + 2}}{{a - 1}} - 8} \right)\left( {\frac{{ - 5{x_H} - 3}}{4} - 2} \right) = 0\) (1)

Thay \({x_H}\) vào (1) ta giải được \(a = \frac{{ - 3}}{2} \Rightarrow b = 1\) các nghiệm \(a = 2\,\,\,a =  - 4\)vì điểm H trùng với A; B

Vậy \(4{a^2} - 3b = 6\).