Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A(2;4;1),B( - 2;2; - 3)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\].

Trả lời: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng

a)Tọa độ trung điểm I của AB: \[I = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{2 - 2}}{2};\frac{{4 + 2}}{2};\frac{{1 - 3}}{2}} \right) = (0;3; - 1)\]

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: \[\vec n = \overrightarrow {AB}  = ( - 4; - 2; - 4)\]

Phương trình mặt phẳng trung trực (đi qua I):

\[ - 4(x - 0) - 2(y - 3) - 4(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 1 = 0\].

Câu a) SAI

b) Tọa độ trung điểm \[I\]của đoạn thẳng \[AB\]là \[(0;3; - 1)\].

Câu b) ĐÚNG

c)Tâm là trung điểm \[I(0;3; - 1)\].

Bán kính \[R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {16 + 4 + 16} }}{2} = \frac{6}{2} = 3\].

Phương trình mặt cầu: \[{(x - 0)^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 1)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 1)^2} = 9\].

Câu c) ĐÚNG.

d)M cách đều A và B nên M thuộc mặt phẳng trung trực \[(Q):2x + y + 2z - 1 = 0\]. Mà \[M \in (P):x + y + z - 3 = 0\]. Vậy M nằm trên đường thẳng \[\Delta \] là giao tuyến của (P) và (Q).

VTCP: \[{\vec u_\Delta } = [{\vec n_Q},{\vec n_P}] = ( - 1;0;1)\]. Chọn điểm \[K( - 2;5;0) \in \Delta \]. Khoảng cách ngắn nhất từ M đến O chính là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng \[\Delta \]:

\[d(O,\Delta ) = \frac{{|[\overrightarrow {OK} ,{{\vec u}_\Delta }]|}}{{|{{\vec u}_\Delta }|}} = \frac{{\sqrt {54} }}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 3 \] với \[\overrightarrow {OK}  = ( - 2;5;0),{\vec u_\Delta } = ( - 1;0;1)\].

Câu d) ĐÚNG.