Cho hình vuông \[ABCD\] tâm \[O\]. Gọi \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q\] lần lượt là trung điểm của các đoạn \[AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD\] và \[DA\]. Các cung lần lượt là các cung tròn của các đường tròn tâm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D\] với bán kính bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Biết diện tích “tứ giác cong” \[MNPQ\] (miền bị gạch chéo trong hình vẽ) bằng \[25\left( {4 - \pi } \right)\] dm². Hỏi khi cho “tứ giác cong” \[MNPQ\] quay quanh trục \[NQ\] ta thu được vật thể có thể tích bằng bao nhiêu đềximét khối (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án: 7,5.

Vì đường đi của khinh khí cầu là một phần của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\)

Mà đồ thị của hàm số\(f(x)\) đi qua các điểm \(O(0;0);\,A(8;0);\,I(6;4)\), do đó:

\(f(0) = 0\) nên \(c = 0\)

\(f(8) = 0\) nên \(b =  - 8a\)

\(f(6) = 4\) và \(f'(6) = 0\) suy ra \(d =  - 9;\,a = 1,\)do đó \(b =  - 8.\)

Suy ra \(f(x) = \frac{{{x^2} - 8x}}{{x - 9}}\).

Tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất \[2500m{\rm{ }} = {\rm{ }}2,5{\rm{ }}km\]

Ta có: \(f(x) = 2,5\) ta ccó phương trình

\(\frac{{{x^2} - 8x}}{{x - 9}} = 2,5 \Leftrightarrow 2{x^2} - 21x + 45 = 0\)\( \Rightarrow \,x = 3\) hoặc \(x = 7,5\)

Vì thời điểm hạ cánh là sau điểm hàm số đạt cực đại là \(x = 6\) nên ta nhận \(x = 7,5\).

Chọn a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.

Gọi \(A\) là biến cố: “Nguyệt lấy một quả bóng màu xanh”.

Khi đó \(\overline A \) là biến cố: “Nguyệt lấy một quả bóng màu đỏ”.

a) Sai

Xác suất để bạn Nguyệt lấy được quả bóng màu xanh là \(P\left( A \right) = \frac{{C_9^1}}{{C_{25}^1}} = \frac{9}{{25}} = 0.36\).

b) Sai

Giả sử Nguyệt lấy được quả bóng màu xanh, khi đó trong hộp có \(8\) quả bóng màu xanh và 16 quả bóng màu đỏ.

Gọi \(B\) là biến cố: “Đức lấy hai quả bóng trong đó có ít nhất một quả màu đỏ”.

Ta cần tính \(P\left( {\left. B \right|A} \right)\).

Ta có \(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 1 - \frac{{C_8^2}}{{C_{24}^2}} = \frac{{62}}{{69}} \approx 0.90\).

c) Đúng

Giả sử Nguyệt lấy được quả bóng màu đỏ, khi đó trong hộp có \(9\) quả bóng màu xanh và 15 quả bóng màu đỏ.

Gọi \(C\) là biến cố: “Đức lấy ba quả bóng trong đó có ít nhất một quả màu xanh”.

Ta tính \(P\left( {\left. C \right|\overline A } \right)\).

Ta có \(P\left( {\left. C \right|\overline A } \right) = 1 - \frac{{C_{15}^3}}{{C_{24}^3}} = \frac{{1569}}{{2024}} \approx 0.78\).

d) Đúng

Gọi \(D\) là biến cố: “các quả bóng hai bạn Nguyệt và Đức lấy ra có đủ cả bóng màu xanh và màu đỏ”.

Ta cần tính \(P\left( {\left. A \right|D} \right)\)

Ta có \[P\left( D \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\left. C \right|\overline A } \right) = \frac{9}{{25}}.\frac{{62}}{{69}} + \frac{{16}}{{25}}.\frac{{1569}}{{2024}} = \frac{{5184}}{{6325}}\]

Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {A|D} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{341}}{{864}} \approx 0,39\).