Khi đặt trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với trục \(Ox\)nằm ngang trên mặt đất, trục \(Oy\)hướng thẳng lên trên (tham khảo hình vẽ), đơn vị trong hệ trục là 1 kilomet thì đường đi của một khinh khí cầu bắt đầu xuất phát từ điểm O được mô phỏng là 1 phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất \(f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}.\) Biết đồ thị hàm số \(f(x)\) cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa độ (8;0) và đạt cực đại tại điểm có tọa độ (6;4). Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất 2500 m thì hình chiếu của nó trên trên \(Ox\) cách gốc tọa độ bao nhiêu kilomet?

Đáp án: 75,3.

Gọi cạnh hình vuông là \(2a\).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, điểm \(A\left( {a;a} \right)\)

Ta có: \[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) + \frac{1}{4}\pi .{a^2} = {a^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) = {a^2}.\left( {1 - \frac{\pi }{4}} \right)\] \[ \Leftrightarrow a = 5\].

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\), bán kính \(a\) là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\)

Với \(y < 5 \Rightarrow y = f\left( x \right) = 5 - \sqrt {25 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow {V_1} = \pi \int\limits_0^5 {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Vậy thể tích vật thể khi cho “tứ giác cong” \[MNPQ\] quay quanh trục \[NQ\] là:

\(V = 2{V_1} \approx 75,3\,\,d{m^2}\).

Đáp án: 8.

Kẻ \(AH \bot BD\). Có \(SA \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right)\).

Kẻ \(AI \bot SH \Rightarrow AI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AI\)

Ta có \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt {15} }}{5} \Rightarrow AI = \frac{{2\sqrt {15} }}{5}\).

Xét tam gic SAH có \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2\sqrt {15} }}{5}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow SA = 2\sqrt 3 \).

Có \({V_{SABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.2.2\sqrt 3 .2\sqrt 3  = 8\).