Khi đặt trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với trục \(Ox\)nằm ngang trên mặt đất, trục \(Oy\)hướng thẳng lên trên (tham khảo hình vẽ), đơn vị trong hệ trục là 1 kilomet thì đường đi của một khinh khí cầu bắt đầu xuất phát từ điểm O được mô phỏng là 1 phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất \(f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}.\) Biết đồ thị hàm số \(f(x)\) cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa độ (8;0) và đạt cực đại tại điểm có tọa độ (6;4). Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất 2500 m thì hình chiếu của nó trên trên \(Ox\) cách gốc tọa độ bao nhiêu kilomet?

Đáp án: 75,3.

Gọi cạnh hình vuông là \(2a\).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, điểm \(A\left( {a;a} \right)\)

Ta có: \[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) + \frac{1}{4}\pi .{a^2} = {a^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) = {a^2}.\left( {1 - \frac{\pi }{4}} \right)\] \[ \Leftrightarrow a = 5\].

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\), bán kính \(a\) là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\)

Với \(y < 5 \Rightarrow y = f\left( x \right) = 5 - \sqrt {25 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow {V_1} = \pi \int\limits_0^5 {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Vậy thể tích vật thể khi cho “tứ giác cong” \[MNPQ\] quay quanh trục \[NQ\] là:

\(V = 2{V_1} \approx 75,3\,\,d{m^2}\).

Chọn a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.

Gọi \(A\) là biến cố: “Nguyệt lấy một quả bóng màu xanh”.

Khi đó \(\overline A \) là biến cố: “Nguyệt lấy một quả bóng màu đỏ”.

a) Sai

Xác suất để bạn Nguyệt lấy được quả bóng màu xanh là \(P\left( A \right) = \frac{{C_9^1}}{{C_{25}^1}} = \frac{9}{{25}} = 0.36\).

b) Sai

Giả sử Nguyệt lấy được quả bóng màu xanh, khi đó trong hộp có \(8\) quả bóng màu xanh và 16 quả bóng màu đỏ.

Gọi \(B\) là biến cố: “Đức lấy hai quả bóng trong đó có ít nhất một quả màu đỏ”.

Ta cần tính \(P\left( {\left. B \right|A} \right)\).

Ta có \(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 1 - \frac{{C_8^2}}{{C_{24}^2}} = \frac{{62}}{{69}} \approx 0.90\).

c) Đúng

Giả sử Nguyệt lấy được quả bóng màu đỏ, khi đó trong hộp có \(9\) quả bóng màu xanh và 15 quả bóng màu đỏ.

Gọi \(C\) là biến cố: “Đức lấy ba quả bóng trong đó có ít nhất một quả màu xanh”.

Ta tính \(P\left( {\left. C \right|\overline A } \right)\).

Ta có \(P\left( {\left. C \right|\overline A } \right) = 1 - \frac{{C_{15}^3}}{{C_{24}^3}} = \frac{{1569}}{{2024}} \approx 0.78\).

d) Đúng

Gọi \(D\) là biến cố: “các quả bóng hai bạn Nguyệt và Đức lấy ra có đủ cả bóng màu xanh và màu đỏ”.

Ta cần tính \(P\left( {\left. A \right|D} \right)\)

Ta có \[P\left( D \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\left. C \right|\overline A } \right) = \frac{9}{{25}}.\frac{{62}}{{69}} + \frac{{16}}{{25}}.\frac{{1569}}{{2024}} = \frac{{5184}}{{6325}}\]

Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {A|D} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{341}}{{864}} \approx 0,39\).