Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ \[A = P{e^{rt}}\]. Trong đó: \[P\] là dân số của năm lấy làm mốc; \[A\] là dân số sau \[t\] năm; \[r\] là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Sau khi thực hiện sắp xếp địa giới hành chính cấp tỉnh (sáp nhập), dân số của thành phố Đồng Nai đạt \[4,5\] triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm của thành phố được duy trì ổn định ở mức \[1,32\% \] thì sau \[10\] năm nữa dân số của thành phố Đồng Nai đạt bao nhiêu triệu người (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 6000.

Gọi parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\) đi qua điểm \(\left( {30;20} \right)\) \(60p = 400 \Leftrightarrow p = \frac{{20}}{3}\)\( \Rightarrow {y^2} = \frac{{40}}{3}x\).

Thể tích cối là: \(V = \pi \int\limits_0^{30} {\left( {\frac{{40}}{3}x} \right)} dx = 6000\pi  \Rightarrow a = 6000\).

Công thức tính nhanh: \(V = \frac{1}{2}\pi {R^2}h = \frac{1}{2}{.20^2}.30 = 6000\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \Rightarrow a = 6000\).

Chọn a) Đúng | b) Đúng c) Sai | d) Đúng

Phương trình mặt cầu (\(S\)) là \({(x + 10\sqrt 3 )^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 100\).

Từ phương trình này, ta xác định được tâm \(I\) và bán kính \(R\):

Tâm \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\).

Bán kính \(R = \sqrt {100}  = 10\) (m).

Vector chỉ phương của tia nắng là \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\).

a) Mặt cầu (\(S\)) có tâm \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và bán kính \(R = 10\) (m).

Dựa vào phương trình mặt cầu đã cho, tâm \(I\) là \(( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và bán kính \(R = \sqrt {100}  = 10\).

Chọn ĐÚNG

b) Phương trình đường thẳng chứa tia nắng đi qua tâm mặt cầu là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 10\sqrt 3  + t}\\{y = 0}\\{z = 30 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\).

Đường thẳng chứa tia nắng đi qua tâm mặt cầu \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\).

Phương trình tham số của đường thẳng này là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 10\sqrt 3  + t}\\{y = 0}\\{z = 30 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\).

Chọn ĐÚNG.

c) Gọi \(K\) là hình chiếu của tâm \(I\) theo phương tia nắng trên mặt sân, khi đó \(K(10\sqrt 3 ;0;0)\).

\(K\) là hình chiếu của tâm \(I\) theo phương tia nắng trên mặt sân. Mặt sân trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), có phương trình \(z = 0\).

Để tìm tọa độ điểm \(K\), ta thay \(z = 0\) vào phương trình đường thẳng chứa tia nắng đi qua \(I\):

\(30 - \sqrt 3 t = 0 \Rightarrow t = 10\sqrt 3 \).

Thay \(t = 10\sqrt 3 \) vào ta được: \(K(0;0;0)\).

Chọn SAI

d) Biết rằng hình chiếu của mặt cầu lên mặt sân là một elip, tiêu cự của elip bằng \(\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Hình chiếu của mặt cầu lên mặt sân (mặt phẳng \(Oxy\)) theo phương tia nắng \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\) là một elip.

Gọi \(\phi \) là góc giữa \(\vec u\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Vector pháp tuyến của \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\vec n = (0;0;1)\).

Góc \(\theta \) giữa \(\vec u\) và \(\vec n\) được tính bởi \(\cos \theta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}\)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra  $\theta ={30}^{°}$

Góc \(\phi \) giữa \(\vec u\) và mặt phẳng \(Oxy\) là $\varphi ={90}^{°}-\theta ={90}^{°}-{30}^{°}={60}^{°}$

Hình chiếu của mặt cầu là một elip có bán trục nhỏ \(b = R = 10\).

Bán trục lớn $a=\frac{R}{\sin \varphi }=\frac{10}{\sin {60}^{°}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$

Tiêu cự của elip là \(2c\), với \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)\( = {\left( {\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {10^2} = \frac{{100}}{3}\).

\( \Rightarrow c = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\).

Tiêu cự \(2c = 2 \cdot \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Chọn ĐÚNG.