Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(f\prime \left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

a) Sai. Công thức tính số lượng vi khuẩn tại thời điểm \[t\] là \[P\left( t \right) = 1000.{e^{kt}}\]với \[t \ge 0\].

b) Đúng. Ta có \[P\left( 2 \right) = 1000.{e^{2k}} \Leftrightarrow 4000 = 1000.{e^{2k}} \Leftrightarrow {e^{2k}} = 4 \Leftrightarrow 2k = \ln 4 \Leftrightarrow k = \ln 2\].

c) Đúng. \[P\left( 5 \right) = 1000.{e^{5.\ln 2}} = 32000\].

d) Sai. \[P\left( t \right) = 1000.{e^{t.\ln 2}} \Leftrightarrow 64000 = 1000.{e^{t.\ln 2}} \Leftrightarrow {e^{t.\ln 2}} = 64 \Leftrightarrow t = 6\].

Đáp án: 151

Mỗi người dùng đăng ký trả 2 triệu đồng/năm. Với x người dùng, tổng doanh thu trong một năm là:\(R(x) = 2x\) (triệu đồng)

Tổng chi phí duy trì hệ thống và cập nhật phần mềm trong một năm là:

\(C(x) = 10\ln \left( x \right) + 50\) (triệu đồng)

Hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 2x - 10\ln x + 50\)(triệu đồng)

Để nhóm phát triển đạt mức lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm thì

\(P(x) \ge 200\)\( \Rightarrow 2x - 10\ln x - 50 \ge 200\)\( \Rightarrow x - 5\ln x \ge 125\quad (*)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x - 5\ln x\) với \(x \in {\mathbb{N}^*}\). Ta có \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{5}{x} = 0 \Rightarrow x = 5\).

Với x < 5, ta có \(f'\left( x \right) < 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) nghịch biến \( \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 5 \right) = 5 - 5\ln 5 < 125\)

(không thoả mãn)

Với x > 5, ta có \(f'\left( x \right) > 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) đồng biến.

Với \(x = 150\)\( \Rightarrow f\left( {150} \right) = 150 - 5\ln 150 \approx 124,947 < 125\)(Không thỏa mãn)

Với \(x \ge 151\) \( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f(151) = 151 - 5\ln 151 \approx 125,913 > 125\)(Thỏa mãn)

Kết luận: Để đạt được lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm, nhóm phát triển cần thu hút được ít nhất 151 người dùng đăng ký phần mềm.