Một nhóm phát triển phần mềm độc lập cung cấp một ứng dụng Trí tuệ nhân tạo hỗ trợ quản lý công việc và học tập cá nhân. Mỗi người dùng đăng ký bản quvền sử dụng sẽ phải trả mức phí cố định là 2 triệu đồng/năm. Tổng chi phí duy trì hệ thống lưu trữ đám mây và cập nhật phần mềm trong một năm phụ thuộc vào số lượng người dùng \(x\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) đang sử dụng và được mô hình hóa bởi hàm số \(C(x) = 10\ln \left( x \right) + 50\) (triệu đồng). Để nhóm phát triển đạt mức lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm, họ cần thu hút được ít nhất bao nhiêu người dùng đăng ký phần mềm đó?

Đáp án: 151

Mỗi người dùng đăng ký trả 2 triệu đồng/năm. Với x người dùng, tổng doanh thu trong một năm là:\(R(x) = 2x\) (triệu đồng)

Tổng chi phí duy trì hệ thống và cập nhật phần mềm trong một năm là:

\(C(x) = 10\ln \left( x \right) + 50\) (triệu đồng)

Hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 2x - 10\ln x + 50\)(triệu đồng)

Để nhóm phát triển đạt mức lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm thì

\(P(x) \ge 200\)\( \Rightarrow 2x - 10\ln x - 50 \ge 200\)\( \Rightarrow x - 5\ln x \ge 125\quad (*)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x - 5\ln x\) với \(x \in {\mathbb{N}^*}\). Ta có \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{5}{x} = 0 \Rightarrow x = 5\).

Với x < 5, ta có \(f'\left( x \right) < 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) nghịch biến \( \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 5 \right) = 5 - 5\ln 5 < 125\)

(không thoả mãn)

Với x > 5, ta có \(f'\left( x \right) > 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) đồng biến.

Với \(x = 150\)\( \Rightarrow f\left( {150} \right) = 150 - 5\ln 150 \approx 124,947 < 125\)(Không thỏa mãn)

Với \(x \ge 151\) \( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f(151) = 151 - 5\ln 151 \approx 125,913 > 125\)(Thỏa mãn)

Kết luận: Để đạt được lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm, nhóm phát triển cần thu hút được ít nhất 151 người dùng đăng ký phần mềm.