Một nhóm phát triển phần mềm độc lập cung cấp một ứng dụng Trí tuệ nhân tạo hỗ trợ quản lý công việc và học tập cá nhân. Mỗi người dùng đăng ký bản quvền sử dụng sẽ phải trả mức phí cố định là 2 triệu đồng/năm. Tổng chi phí duy trì hệ thống lưu trữ đám mây và cập nhật phần mềm trong một năm phụ thuộc vào số lượng người dùng \(x\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) đang sử dụng và được mô hình hóa bởi hàm số \(C(x) = 10\ln \left( x \right) + 50\) (triệu đồng). Để nhóm phát triển đạt mức lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm, họ cần thu hút được ít nhất bao nhiêu người dùng đăng ký phần mềm đó?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 151
Mỗi người dùng đăng ký trả 2 triệu đồng/năm. Với x người dùng, tổng doanh thu trong một năm là:\(R(x) = 2x\) (triệu đồng)
Tổng chi phí duy trì hệ thống và cập nhật phần mềm trong một năm là:
\(C(x) = 10\ln \left( x \right) + 50\) (triệu đồng)
Hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 2x - 10\ln x + 50\)(triệu đồng)
Để nhóm phát triển đạt mức lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm thì
\(P(x) \ge 200\)\( \Rightarrow 2x - 10\ln x - 50 \ge 200\)\( \Rightarrow x - 5\ln x \ge 125\quad (*)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x - 5\ln x\) với \(x \in {\mathbb{N}^*}\). Ta có \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{5}{x} = 0 \Rightarrow x = 5\).
Với x < 5, ta có \(f'\left( x \right) < 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) nghịch biến \( \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 5 \right) = 5 - 5\ln 5 < 125\)
(không thoả mãn)
Với x > 5, ta có \(f'\left( x \right) > 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) đồng biến.
Với \(x = 150\)\( \Rightarrow f\left( {150} \right) = 150 - 5\ln 150 \approx 124,947 < 125\)(Không thỏa mãn)
Với \(x \ge 151\) \( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f(151) = 151 - 5\ln 151 \approx 125,913 > 125\)(Thỏa mãn)
Kết luận: Để đạt được lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm, nhóm phát triển cần thu hút được ít nhất 151 người dùng đăng ký phần mềm.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
a) Sai. Công thức tính số lượng vi khuẩn tại thời điểm \[t\] là \[P\left( t \right) = 1000.{e^{kt}}\]với \[t \ge 0\].
b) Đúng. Ta có \[P\left( 2 \right) = 1000.{e^{2k}} \Leftrightarrow 4000 = 1000.{e^{2k}} \Leftrightarrow {e^{2k}} = 4 \Leftrightarrow 2k = \ln 4 \Leftrightarrow k = \ln 2\].
c) Đúng. \[P\left( 5 \right) = 1000.{e^{5.\ln 2}} = 32000\].
d) Sai. \[P\left( t \right) = 1000.{e^{t.\ln 2}} \Leftrightarrow 64000 = 1000.{e^{t.\ln 2}} \Leftrightarrow {e^{t.\ln 2}} = 64 \Leftrightarrow t = 6\].
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 2033.
Gọi \({u_n}\) là tổng số tiền ông \(A\) dùng để trả chi phí vận hành trong năm thứ \(n\) (với \(n = 1\) tương ứng năm \(2025\)).
Theo đề bài, ta có \({u_1} = 2\) và chi phí năm sau tăng \(10\% \) so với năm trước, nên dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 1 + 10\% = 1,1\).
Số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 2 \cdot {(1,1)^{n - 1}}\).
Để tìm năm đầu tiên có chi phí vận hành lớn hơn \(4\) tỷ đồng, ta giải bất phương trình \({u_n} > 4 \Leftrightarrow 2 \cdot {(1,1)^{n - 1}} > 4 \Leftrightarrow {(1,1)^{n - 1}} > 2 \Leftrightarrow n - 1 > {\log _{1,1}}2 \Leftrightarrow n > 1 + {\log _{1,1}}2 \approx 8,27\).Vì \(n\) là số nguyên dương nên giá trị nhỏ nhất của \(n\) thỏa mãn là \(n = 9\).
Năm thứ nhất là năm \(2025\), vậy năm thứ \(9\) là \(2025 + (9 - 1) = 2033\).
Vậy năm đầu tiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là năm \(2033\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
![Đáp số: 144 Gọi \[I,\,\,J\]lần lượt là hình chiếu của \[A',\,\,C'\] lên \[(ABCD)\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture108-1779809899.png)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập