PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một quần thể vi khuẩn ban đầu có 1000 con. Sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn tăng lên thành 4000 con. Gọi \[P\left( t \right)\] là số lượng vi khuẩn tại thời điểm \[t\] (giờ). Biết rằng tốc độ tăng trưởng của quần thể tỉ lệ thuận với số lượng vi khuẩn hiện có, tức là \[P'\left( t \right) = k.P\left( t \right)\]với \[k\] là hằng số khác 0 và \[P\left( t \right) > 0\] với \[t \ge 0\].

Đáp án: 151

Mỗi người dùng đăng ký trả 2 triệu đồng/năm. Với x người dùng, tổng doanh thu trong một năm là:\(R(x) = 2x\) (triệu đồng)

Tổng chi phí duy trì hệ thống và cập nhật phần mềm trong một năm là:

\(C(x) = 10\ln \left( x \right) + 50\) (triệu đồng)

Hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 2x - 10\ln x + 50\)(triệu đồng)

Để nhóm phát triển đạt mức lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm thì

\(P(x) \ge 200\)\( \Rightarrow 2x - 10\ln x - 50 \ge 200\)\( \Rightarrow x - 5\ln x \ge 125\quad (*)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x - 5\ln x\) với \(x \in {\mathbb{N}^*}\). Ta có \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{5}{x} = 0 \Rightarrow x = 5\).

Với x < 5, ta có \(f'\left( x \right) < 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) nghịch biến \( \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 5 \right) = 5 - 5\ln 5 < 125\)

(không thoả mãn)

Với x > 5, ta có \(f'\left( x \right) > 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) đồng biến.

Với \(x = 150\)\( \Rightarrow f\left( {150} \right) = 150 - 5\ln 150 \approx 124,947 < 125\)(Không thỏa mãn)

Với \(x \ge 151\) \( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f(151) = 151 - 5\ln 151 \approx 125,913 > 125\)(Thỏa mãn)

Kết luận: Để đạt được lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm, nhóm phát triển cần thu hút được ít nhất 151 người dùng đăng ký phần mềm.

Đáp án: 2033.

Gọi \({u_n}\) là tổng số tiền ông \(A\) dùng để trả chi phí vận hành trong năm thứ \(n\) (với \(n = 1\) tương ứng năm \(2025\)).

Theo đề bài, ta có \({u_1} = 2\) và chi phí năm sau tăng \(10\% \) so với năm trước, nên dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 1 + 10\%  = 1,1\).

Số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 2 \cdot {(1,1)^{n - 1}}\).

Để tìm năm đầu tiên có chi phí vận hành lớn hơn \(4\) tỷ đồng, ta giải bất phương trình \({u_n} > 4 \Leftrightarrow 2 \cdot {(1,1)^{n - 1}} > 4 \Leftrightarrow {(1,1)^{n - 1}} > 2 \Leftrightarrow n - 1 > {\log _{1,1}}2 \Leftrightarrow n > 1 + {\log _{1,1}}2 \approx 8,27\).Vì \(n\) là số nguyên dương nên giá trị nhỏ nhất của \(n\) thỏa mãn là \(n = 9\).

Năm thứ nhất là năm \(2025\), vậy năm thứ \(9\) là \(2025 + (9 - 1) = 2033\).

Vậy năm đầu tiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là năm \(2033\).