PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Đầu năm \(2025\), ông \(A\) thành lập một doanh nghiệp. Tổng số tiền ông \(A\) dùng để trả chi phí vận hành trong năm \(2025\) là \(2\) tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả chi phí vận hành trong năm đó tăng thêm \(10\% \) so với năm trước. Hỏi năm nào là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông \(A\) dùng để trả chi phí vận hành trong cả năm lớn hơn \(4\) tỷ đồng?

a) Sai. Công thức tính số lượng vi khuẩn tại thời điểm \[t\] là \[P\left( t \right) = 1000.{e^{kt}}\]với \[t \ge 0\].

b) Đúng. Ta có \[P\left( 2 \right) = 1000.{e^{2k}} \Leftrightarrow 4000 = 1000.{e^{2k}} \Leftrightarrow {e^{2k}} = 4 \Leftrightarrow 2k = \ln 4 \Leftrightarrow k = \ln 2\].

c) Đúng. \[P\left( 5 \right) = 1000.{e^{5.\ln 2}} = 32000\].

d) Sai. \[P\left( t \right) = 1000.{e^{t.\ln 2}} \Leftrightarrow 64000 = 1000.{e^{t.\ln 2}} \Leftrightarrow {e^{t.\ln 2}} = 64 \Leftrightarrow t = 6\].

Đáp án: 151

Mỗi người dùng đăng ký trả 2 triệu đồng/năm. Với x người dùng, tổng doanh thu trong một năm là:\(R(x) = 2x\) (triệu đồng)

Tổng chi phí duy trì hệ thống và cập nhật phần mềm trong một năm là:

\(C(x) = 10\ln \left( x \right) + 50\) (triệu đồng)

Hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 2x - 10\ln x + 50\)(triệu đồng)

Để nhóm phát triển đạt mức lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm thì

\(P(x) \ge 200\)\( \Rightarrow 2x - 10\ln x - 50 \ge 200\)\( \Rightarrow x - 5\ln x \ge 125\quad (*)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x - 5\ln x\) với \(x \in {\mathbb{N}^*}\). Ta có \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{5}{x} = 0 \Rightarrow x = 5\).

Với x < 5, ta có \(f'\left( x \right) < 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) nghịch biến \( \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 5 \right) = 5 - 5\ln 5 < 125\)

(không thoả mãn)

Với x > 5, ta có \(f'\left( x \right) > 0\), suy ra hàm số\(f\left( x \right)\) đồng biến.

Với \(x = 150\)\( \Rightarrow f\left( {150} \right) = 150 - 5\ln 150 \approx 124,947 < 125\)(Không thỏa mãn)

Với \(x \ge 151\) \( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f(151) = 151 - 5\ln 151 \approx 125,913 > 125\)(Thỏa mãn)

Kết luận: Để đạt được lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm, nhóm phát triển cần thu hút được ít nhất 151 người dùng đăng ký phần mềm.