(4,0 điểm)

Một cửa hàng trà sữa đặt làm loại cốc giấy hình trụ có đường kính đáy mặt bên trong là 8 cm và chiều cao trong lòng cốc là 18 cm . Để đảm bảo vệ sinh và chống thấm, toàn bộ mặt trong của thân cốc và đáy cốc được tráng một lớp màng PE mỏng.

a) Tính diện tích màng PE cần thiết để tráng lòng trong cho mỗi chiếc cốc đó.
b) Khi nhân viên cửa hàng thả thêm 50 viên trân châu có dạng hình cầu, mỗi viên có đường kính là 12 mm vào cốc thì mực sữa sẽ dâng lên bao nhiêu centimet (giả sử các viên trân châu ngập hoàn toàn trong trà sữa)?

(Lấy \(\pi  \approx 3,14\), làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

                     

a) Có \[AB\], \[AC\]là tiếp tuyến với đường tròn \[\left( O \right)\],\[B,\,C\] là tiếp điểm

Nên \[AB \bot OB\], \[AC \bot OC\], suy ra \[\widehat {ABO} = 90^\circ \], \[\widehat {ACO} = 90^\circ \]

Có \[\Delta ABO\]vuông tại \[B\] nên \[\Delta ABO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OA\].

Suy ra \[A\], \[B\], \[O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OA\].

Có \[\Delta ACO\]vuông tại \[C\] nên \[\Delta ACO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OA\].

Suy ra \[A\], \[C\], \[O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OA\].

Vì \[OH \bot MN\] nên \[\widehat {OHA} = 90^\circ \].

Có \[\Delta AHO\] vuông tại \[H\] nên \[\Delta AHO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OA\].

Suy ra \[A\], \[H\], \[O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OA\].

Do đó 5 điểm \[A\], \[B\], \[H\], \[O\],\[C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OA\].

Vậy các điểm \[A\], \[B\], \[H\], \[O\],\[C\] cùng thuộc đường tròn .

b) Xét đường tròn đường kính \[OA\] có \(\widehat {BHA} = \widehat {BOA} = \frac{1}{2}\)sđ $\stackrel{⏜}{AB}$  ( 2 góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{AB}$)

Vì \[AB\], \[AC\]là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt nhau tại \[A\] (\[B,\,C\] là tiếp điểm) nên \[OA\] là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\). Suy ra \(\widehat {BOA} = \frac{1}{2}\)\(\widehat {BOC}\).

Suy ra \(\widehat {BHA} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\)

Xét đường tròn \[\left( O \right)\]có \(\widehat {BDC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\) ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn $\stackrel{⏜}{BC}$).

Do đó \(\widehat {BHA} = \widehat {BDC}\).

Vì \(\widehat {BHA} = \widehat {BDC}\) mà hai góc đồng vị nên \(AH\;{\rm{//}}\;CD\)

Suy ra \(\widehat {AKC} = \widehat {BCD}\) (hai góc so le trong)

Xét \[\Delta AKC\] và \[\Delta BCD\] có: \(\widehat {AKC} = \widehat {BCD}\),  \(\widehat {BDC} = \widehat {BCA}\left( { = \widehat {BHA}} \right)\)nên $\Delta AKC\backsim \Delta BCD$  (g.g)

c) Gọi giao điểm của \(CE\) và \(KF\) là \(F\).

Vì \[AB\], \[AC\]là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt nhau tại \[A\] (\[B,\,C\] là tiếp điểm) nên \[AB = AC\] mà \(OB = OC\) nên \(OA\) là đường trung trực của \(BC\). Suy ra \(OA\; \bot \;BC\).

Xét \[\Delta OIB\] và \[\Delta OBA\] có: \[\widehat {OIB} = \widehat {OBA} = 90^\circ \], \[\widehat {BAO}\] chung nên $\Delta OIB\backsim \Delta OBA$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{OI}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OA}}\]. Do đó \(O{B^2} = OI.OA\).

Mà \(O{B^2} = O{D^2}\) nên \(O{D^2} = OI.OA\).

Suy ra \(\frac{{OD}}{{OI}} = \frac{{OA}}{{OD}}\) mà \[\widehat {AOD}\] chung nên $\Delta ODI\backsim \Delta OAD$ (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {OID} = \widehat {OAD}\]

Mà \[\widehat {ODB} = \widehat {OBD} = \widehat {OAH} \Rightarrow \widehat {BDI} = \widehat {HAD}\].

Lại có \[\widehat {HAD} = \widehat {ADC}\] (hai góc so le trong của \(AH\;{\rm{//}}\;CD\)), suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {BDI}\].

Xét \[\Delta BID\] và \[\Delta ECD\] có: \(\widehat {DBC} = \widehat {DEC}\),  \[\widehat {BDI} = \widehat {EDC}\] nên \[\Delta BID\] $\backsim$\[\Delta ECD\] $\Delta OIB\backsim \Delta OBA$ (g.g).

Suy ra \[\widehat {BID} = \widehat {ECD}\] mà \[\widehat {ECD} = \widehat {CFA}\] (hai góc so le trong của \(AH\;{\rm{//}}\;CD\))

Suy ra \[\widehat {BID} = \widehat {CFA}\] mà \[\widehat {DBI} = \widehat {CAF}\] nên \[\Delta CFA\] $\backsim$\[\Delta DBI\](g.g)

Suy ra \[\frac{{DB}}{{CA}} = \frac{{BI}}{{AF}}\] \[\left( 1 \right)\]

Vì $\Delta AKC\backsim \Delta BCD$ nên \[\frac{{DB}}{{CA}} = \frac{{BC}}{{AK}}\] \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có \[\frac{{BI}}{{AF}} = \frac{{BC}}{{AK}}\].

Suy ra \[\frac{{AF}}{{AK}} = \frac{{BI}}{{BC}}\] mà \[\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{1}{2}\] nên \[\frac{{AF}}{{AK}} = \frac{1}{2}\].

Suy ra \[F\] là trung điểm của \[AK\].

Vậy \(CE\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(KA\).