(1,5 điểm) Cho hai biểu thức: \[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{x - 25}} - \frac{5}{{\sqrt x  + 5}}\] và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}}\] với \[x \ge 0,x \ne 25\].

a) Tính giá trị biểu thức \[B\] khi \[x = 36\].

b) Rút gọn biểu thức \[A\].

c) Đặt \[P = A.B\]. So sánh \[P\] với \[\sqrt P \] khi \[\sqrt P \] xác định.

a) Thay \[x = 36\](Thỏa mãn) vào biểu thức \[B\], ta được:

\[B = \frac{{\sqrt {36} }}{{\sqrt {36}  - 5}} = \frac{6}{{6 - 5}} = 6\]

Vậy \[B = 6\] khi \[x = 36\].

b) Với \[x \ge 0,x \ne 25\]

\[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{x - 25}} - \frac{5}{{\sqrt x  + 5}}\]

\[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \frac{5}{{\sqrt x  + 5}}\]

\[A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \frac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \frac{{5.\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\]

\[A = \frac{{x + 5\sqrt x  - 10\sqrt x  - 5\sqrt x  + 25}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\]

\[A = \frac{{x - 10\sqrt x  + 25}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\]

\[A = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\]

\[A = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}}\]

Vậy \[A = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}}\] với \[x \ge 0,x \ne 25\]

c) \[P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}}\]

\[\sqrt P \] xác định khi \[P \ge 0\]

\[ \Rightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}} \ge 0\] (Luôn đúng với mọi \[x \ge 0,x \ne 25\])

Ta có: \[{P^2} - P = P\left( {P - 1} \right)\]

\[P - 1 = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}} - 1 = \frac{{\sqrt x  - \sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 5}}\]

Vì  \[x \ge 0,x \ne 25\]nên \[\sqrt x  + 5 > 0\] mà \[ - 5 < 0\]\[ \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 5}} < 0\]

Hay \[P - 1 < 0\]

Mà \[P \ge 0\]

Nên \[{P^2} - P = P\left( {P - 1} \right) \le 0 \Rightarrow {P^2} \le P \Rightarrow P \le \sqrt P \]

Vậy \[P \le \sqrt P \] khi \[\sqrt P \] xác định.