(2,5 điểm)

Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường. Nếu cả hai đội cùng làm thì 72 ngày sẽ hoàn thành xong cả đoạn đường. Nhưng vì đội II có việc bận nên đội I làm xong một nửa đoạn đường đầu thì đội II mới đến làm nửa còn lại và đội II làm một mình, với thời gian dài hơn thời gian đội I đã làm là 30 ngày. Hỏi thực tế, mỗi đội đã làm trong bao nhiêu ngày để xong đoạn đường này?

a) Thùng chứa xăng trên chứa được tối đa bao nhiêu lít xăng?

Thể tích của thùng chứa xăng phần hình trụ là: \[\pi .{R^2}h = \pi {.6^2}.10 = 360\pi \left( {{m^3}} \right)\].

Thể tích của thùng chứa xăng phần hình nón là: \[\frac{1}{3}.\pi .{R^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.6^2}.6 = 72\pi \left( {{m^3}} \right)\].

Thể tích thùng chứa xăng trên chứa được tối đa được số lít xăng là:

\[360\pi  + 72\pi  = 432\pi \left( {{m^3}} \right)\]

b) Diện tích của thùng chứa xăng phần hình trụ là:

\[\pi {R^2} + 2\pi Rh = \pi {.6^2} + 2\pi .6.10 = 156\pi \left( {{m^2}} \right)\]

Độ dài đường sinh của thùng chứa xăng phần hình nón là:

\[l = \sqrt {{R^2} + {h^2}}  = \sqrt {{6^2} + {6^2}}  = 6\sqrt 2 \left( m \right)\]

Diện tích của thùng chứa xăng phần hình nón là:

 \[\pi Rl = \pi .6.6\sqrt 2  = 36\pi \sqrt 2 \left( {{m^2}} \right)\]

Số tiền doanh nghiệp cần bỏ ra để làm thùng chứa xăng là:

\[\left( {156\pi  + 36\pi \sqrt 2 } \right).150000 = 97\,504\,835,96\] (đồng)

Tổng số lượng đơn hàng: 45.000 vỏ hộp.

Năng suất mỗi máy: 7.500 vỏ hộp/giờ.

Chi phí khởi động mỗi máy: 300.000 đồng/máy.

Tiền công kỹ thuật viên: 300.000 đồng/giờ (giám sát tất cả máy cùng lúc).

Biến số: Gọi \(x\) là số lượng máy xưởng sử dụng (\(x > 0,x \in \mathbb{N}\)).

Đầu tiên, ta tính thời gian cần thiết để hoàn thành đơn hàng khi sử dụng \(x\) máy \(t = \frac{{45.000}}{{x \cdot 7.500}} = \frac{6}{x}\) (giờ)

Tổng chi phí \(C(x)\) bao gồm hai loại:

Chi phí khởi động máy: \(300 \cdot x\) (nghìn đồng).

Chi phí thuê kỹ thuật viên: \(300 \cdot t = 300 \cdot \frac{6}{x} = \frac{{1.800}}{x}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí là \(C(x) = 300x + \frac{{1.800}}{x}{\rm{ (}}x > 0)\)

Áp dụng AM-GM cho \[300x\] và \(\frac{{1.800}}{x}\):

\(C(x) = 300x + \frac{{1.800}}{x} \ge 2\sqrt {300x \cdot \frac{{1.800}}{x}} \)

\(C(x) \ge 2\sqrt {540.000}  \approx 1\,469,69\) (nghìn đồng)

 Dấu “=” xảy ra khi \(300x = \frac{{1.800}}{x}\) suy ra \({x^2} = \frac{{1.800}}{{300}} = 6\) suy ra \(x = \sqrt 6  \approx 2,45\)

Vì số lượng máy \(x\) phải là số nguyên dương, ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên lân cận của 2,45 là \(x = 2\) và \(x = 3\):

Với \(x = 2\): \(C(2) = 300(2) + \frac{{1.800}}{2} = 600 + 900 = 1.500\) (nghìn đồng).

Với \(x = 3\): \(C(3) = 300(3) + \frac{{1.800}}{3} = 900 + 600 = 1.500\) (nghìn đồng).

Cả hai phương án đều cho tổng chi phí thấp nhất là 1.500.000 đồng.

Vậy xưởng nên sử dụng 2 máy hoặc 3 máy để tối ưu hóa chi phí.