(4,0 điểm)

Một thùng chứa xăng gồm một phần có dạng hình trụ và một phần có dạng hình nón với kích thước như hình vẽ:

 

a) Thùng chứa xăng trên chứa được tối đa bao nhiêu lít xăng?

b) Một doanh nghiệp mua bán xăng dầu muốn đặt làm một thùng chứa xăng như trên. Biết chi phí là \[150000\]đồng/m2. Hỏi doanh nghiệp đó cần bỏ ra số tiền bao nhiêu để làm một thùng chứa xăng như trên?

a) Chứng minh 4 điểm \[A,M,B,O\]cùng thuộc 1 đường tròn.

Vì \[MA,MB\]lần lượt là 2 tiếp của của đường tròn \[\left( O \right)\](với\[A,B\] là tiếp điểm).

Nên \[MA \bot OA,MB \bot OB \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ ;\widehat {MBO} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MAO;\Delta MBO\] là những tam giác vuông

Xét \[\Delta MAO\] vuông tại \[A\], suy ra: \[M;A;O\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Xét \[\Delta MBO\] vuông tại \[B\], suy ra: \[M;B;O\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Suy ra 4 điểm \[A,M,B,O\]cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Tia \[AE\]cắt đường thẳng \[BD\]tại điểm \[T\]. Chứng minh \[\widehat {THB} = \widehat {TDA}\]và \[MTBH\]là hình chữ nhật.

Kéo dài \[TH\]cắt \[AD\]tại \[K\].

Ta có: \[\widehat {AED} = \widehat {ABD} = 90^\circ \]. Suy ra \[AB,DE\]lần lượt là đường cao của tam giác \[ATD\]

Suy ra: \[TH \bot AD \Rightarrow AK \bot AD \Rightarrow \widehat {AKT} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {AHK} = \widehat {ADB}\] (cùng phụ \[\widehat {HAK}\])

Mà \[\widehat {AHK} = \widehat {THB}\] (2 góc đối đỉnh)

Suy ra: \[\widehat {THB} = \widehat {ADB}\] hay \[\widehat {THB} = \widehat {TDA}\].

Ta có: \[\widehat {BTH} = \widehat {BAD}\] (Cùng phụ \[\widehat {BDA}\])

Lại có: \[\widehat {BMH} = \widehat {BAD}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[OB\])

Suy ra: \[\widehat {BMH} = \widehat {BTH}\]

Mà \[\widehat {BMH} + \widehat {MBH} = 90^\circ \]; \[\widehat {BTH} + \widehat {THB} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {THB} = \widehat {MBH}\]

Suy ra: \[\Delta THB = \Delta MBH\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow MH = TB\]

Mà \[MH//TB\] (cùng \[ \bot AB\])

Suy ra tứ giác \[MTBH\] là hình bình hành.

Mà \[\widehat {MBH} = 90^\circ  \Rightarrow \]Tứ giác \[MTBH\]là hình chữ nhật.

c) Tia \[BE\]cắt tia \[DA\]tại điểm \[P\]. Chứng minh 3 điểm \[P,M,T\]thẳng hàng.

Gọi \[I\]là giao điểm của \[MB\]và \[TH\].

Vì tứ giác \[MTBH\]là hình chữ nhật nên \[I\]là trung điểm của \[MB\]và \[TH\].

Ta có: \[\Delta TEH\]vuông tại \[E\], \[EI\]là đường trung tuyến.

Suy ra \[EI = \frac{1}{2}TH \Rightarrow EI = \frac{1}{2}MB \Rightarrow \Delta MEB\]vuông tại \[E\]

\[ \Rightarrow \widehat {MEB} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {MEP} = 90^\circ \]

Ta có: \[\widehat {MEP} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MEP\]vuông tại \[E \Rightarrow M,E,P\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MP\].

Ta có: \[\widehat {MAP} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MAP\]vuông tại \[E \Rightarrow M,A,P\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MP\].

Suy ra 4 điểm \[E,M,A,P\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MP\].

Suy ra: \[\widehat {MPE} = \widehat {MAE}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[ME\]) (1)

Ta có: \[\widehat {ADE} = \widehat {MAE}\] (cùng phụ \[\widehat {EAD}\])

Mà \[\widehat {ADE} = \widehat {ABE}\] (Góc nội tiếp cùng chắn cung \[AE\])

Suy ra: \[\widehat {ABE} = \widehat {MAE}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat {MPE} = \widehat {ABE}\]

Mà 2 góc ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow MP//AB\]

Lại có: \[MT//HB\] ( Do \[MTBH\]là hình chữ nhật) hay \[MT//AB\]

Do đó 3 điểm \[P,M,T\]thẳng hàng.