(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{6}{{\sqrt x }}\,;\,\,B = \frac{{2 - 4\sqrt x }}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x > 0\,,\,\,x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 8\).

2) Rút gọn biểu thức \(B\).

3) Cho \(P = A \cdot B\). Tìm \(x\) để \(P\) có giá trị là số nguyên tố.

1) Thay \(x = 8\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{6}{{\sqrt 8 }} = \frac{6}{{2\sqrt 2 }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

 Vậy khi \(x = 8\) thì \(A = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

2) Với \(x > 0\,,\,\,x \ne 1\), ta có:

\(B = \frac{{2 - 4\sqrt x }}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\)

\( = \frac{{2 - 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\)

\( = \frac{{2 - 4\sqrt x  + 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2 - 4\sqrt x  + 2\sqrt x  - 2 + x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\).

Vậy với \(x > 0\,,\,\,x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\).

3) Ta có: \(P = A \cdot B = \frac{6}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{6}{{\sqrt x  + 1}}\).

Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x  > 0\) suy ra \(\sqrt x  + 1 > 1\), do đó \(0 < \frac{6}{{\sqrt x  + 1}} < \frac{6}{1} = 6\).

Suy ra \(0 < P < 6\). Để \(P\) là số nguyên tố thì \(P\) có thể nhận các giá trị \(2\,;\,\,3\,;\,\,5\).

• Với \(P = 2\) thì \(\frac{6}{{\sqrt x  + 1}} = 2\) nên \(\sqrt x  + 1 = 3\) suy ra \(\sqrt x  = 2\), do đó \(x = 4\) (TMĐK).

• Với \(P = 3\) thì \(\frac{6}{{\sqrt x  + 1}} = 3\) nên \(\sqrt x  + 1 = 2\) suy ra \(\sqrt x  = 1\), do đó \(x = 1\) (loại do \(x \ne 1\)).

• Với \(P = 5\) thì \(\frac{6}{{\sqrt x  + 1}} = 5\) nên \(\sqrt x  + 1 = \frac{6}{5}\) suy ra \(\sqrt x  = \frac{1}{5}\), do đó \(x = \frac{1}{{25}}\) (TMĐK).

Vậy \(x \in \left\{ {4\,;\,\,\frac{1}{{25}}} \right\}\) thì \(P\) có giá trị là số nguyên tố.