(4,0 điểm)

Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ bên).

a) Tính thể tích của bồn chứa xăng

b) Người ta muốn sơn tĩnh điện mặt ngoài của bồn chứa xăng. Hỏi họ cần trả bao nhiêu tiền biết mỗi \({m^2}\) cần trả \(150\,000\) đồng.

a) Chứng minh năm điểm \(M,A,N,O,B\) cùng thuộc một đường tròn và \(NM\) là tia phân giác của \(\widehat {ANB}\).
Ta có hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) ( \(A,B\) là các tiếp điểm) nên \(MA \bot OA\,;\,\,MB \bot OB\)

Ta cũng có \(ON \bot CD\) tại \(N\) (GT)

\(\Delta AMO\) vuông tại \(A\) nên các điểm \(M,A,O\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\).

\(\Delta BMO\) vuông tại \(B\) nên các điểm \(M,O,B\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\).

\(\,\Delta NMO\) vuông tại \(N\) nên các điểm \(M,N,O\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\).
Do đó các điểm \(M,A,N,O,B\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\).
Ta có \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Ta có \(\widehat {MAB} = \widehat {MNB}\) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Ta có \(\widehat {MBA} = \widehat {MNA}\) ( 2 góc nôi tiếp cùng chắn môt cung)
Do đó \(\widehat {MNB} = \widehat {MNA}\)

Nên \[NM\] là tia phân giác của \(\widehat {ANB}\)

b) Chứng minh: \(NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}\).
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta IBN\) có

\(\widehat {MNB} = \widehat {MNA}\) (chứng minh trên); \(\widehat {AMN} = \widehat {IBN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AN\))

Do đó
\( \Rightarrow \frac{{NA}}{{NI}} = \frac{{NM}}{{NB}}\)(tỉ số các cạnh tương ứng) \( \Rightarrow NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB\)

Ta có \(\widehat {ANB} = \widehat {AOB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

Mà \[NM\] là tia phân giác của \(\widehat {ANB}\) nên \(\widehat {ANM} = \frac{1}{2}\widehat {ANB}\)
Do đó \[\widehat {ANM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}\]

\[ \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BE \Rightarrow \widehat {NDB} = \widehat {DBE}\] (so le trong)
Ta lại có \(\widehat {DAN} = \widehat {DBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE\))

Do đó \(\widehat {DAN} = \widehat {BDN} = \left( {\widehat {DBE}} \right)\)
Mặt khác \(\widehat {AND} + \widehat {ANM} = 180^\circ \) (kề bù); \(\widehat {BND} + \widehat {BNM} = 180^\circ \) (kề bù)

Mà \(\widehat {ANM} = \widehat {BNM}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {AND} = \widehat {DNB}\).

Do đó

\( \Rightarrow \frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{ND}}{{NB}}\) (tỉ số các cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}\)

Ta có \[NM\] là tia phân giác của \(\widehat {ANB}\) (chứng minh trên)

Mà \(NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB\) (chứng minh trên) nên \(NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}\).
c) Chứng minh \(IK\,{\rm{//}}\,AC\).

\(\Delta OCD\) cân tại \(O\) (vì \(OC = OD\)) nên đường cao \(ON\) cũng là đường trung tuyến.

Do đó \(NC = ND\)
Theo chứng minh câu b) có \(NI\;{\rm{.}}\;NM = N{D^2} = N{C^2} \Rightarrow \frac{{NI}}{{NC}} = \frac{{NC}}{{NM}}\)
Ta có \(CK \bot AO\,;\,\,AM \bot AO\) nên \(CK\,{\rm{//}}\,MA \Rightarrow \frac{{NC}}{{NM}} = \frac{{NK}}{{NA}}\) (định lí Thales)

\( \Rightarrow \frac{{NI}}{{NC}} = \frac{{NK}}{{NA}}\)

\( \Rightarrow IK\,{\rm{//}}\,AC\) (định lí Thales đảo).