(4,0 điểm)

Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao là 15 cm , đường kính đáy là 5 cm , lượng nước tinh khiết trong ly cao 10 cm . Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ bên.

a) Tính thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly.

b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài.

Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) ?

(Giả sử độ dày của ly là không đáng kể, cho \(\pi  \approx 3,14\) )

a) Vì \(I\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(O\) đến đường thẳng \(BC\)

 \( \Rightarrow OI \bot BC\)\( \Rightarrow \widehat {SIO} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \Delta SOI\) vuông tại \(I\)

\( \Rightarrow 3\) điểm \(S,O,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\)\(\left( 1 \right)\)

Vì \(SA\) là tiếp tuyến tại của đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow SA \bot OA\)\( \Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \Delta SAO\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow 3\) điểm \(S,A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) bốn điểm  \(S,A,O,I\) cùng thuộc đường kính \(SO\)

Do đó tứ giác  \(SAOI\) là tứ giác nội tiếp.

Vậy tứ giác  \(SAOI\) là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tứ giác nội tiếp \(SAOI\) có:

 \(\widehat {SOA} = \widehat {SIA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) \(\left( 3 \right)\)

Xét \(\Delta AOH\) vuông tại \(H\), ta có:

\(\widehat {OAH} + \widehat {SOA} = 90^\circ \) (Tổng ba góc trong tam giác) \(\left( 4 \right)\)

Xét \(\Delta ADI\) vuông tại \(D\), ta có:

\(\widehat {IAD} + \widehat {SIA} = 90^\circ \) (Tổng ba góc trong tam giác) \(\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\), \(\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra: \(\widehat {OAH} = \widehat {IAD}\)

Vậy \(\widehat {OAH} = \widehat {IAD}\).

c) Xét \(\Delta OBC\), ta có: \(OB = OC = R\)

\( \Rightarrow \Delta OBC\) cân tại \(O\)

Mà \[OI \bot BC\]

\( \Rightarrow OI\) là đường trung tuyến

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(BC\)

Xét \(\Delta BCE\) ta có: \(I\) là trung điểm của \(BC\); \(Q\) là trung điểm của \(BE\)

\( \Rightarrow IQ\) là đường trung bình (định nghĩa)

\( \Rightarrow IQ{\rm{ // }}CE\)(tính chất)

Mà \(CE \bot AB\)

\( \Rightarrow IQ \bot AB\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \widehat {BQI} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta BIQ\), ta có:

\(\widehat {ABC}\) chung

\(\widehat {ADB} = \widehat {BQI} = 90^\circ \)

$\Rightarrow \Delta BAD\backsim \Delta BIQ$ (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BQ}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow BQ \cdot BA = BD \cdot BI\)(đpcm)

Vì \(\frac{{BA}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BQ}}\)(cmt) \( \Rightarrow \frac{{BQ}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BA}}\)

Xét \(\Delta BDQ\) và \(\Delta BAI\), ta có:

\(\widehat {ABC}\) chung

\(\frac{{BQ}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BA}}\)

$\Rightarrow \Delta BDQ\backsim \Delta BAI$ (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {QAI} = \widehat {BDQ}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {KDC} = \widehat {BDQ}\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {QAI} = \widehat {KDC}\)\(\left(  *  \right)\)

Ta có:

\(\widehat {BAD} = 90^\circ  - \widehat {ABC} = 90^\circ  - \frac{1}{2}.\widehat {AOC} = 90^\circ  - \frac{1}{2}.\left( {180^\circ  - 2\widehat {OAC}} \right)\)(vì \(\Delta OAC\) cân tại \(O\))\( = \widehat {OAC}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {BAD} + \widehat {IAD} = \widehat {OAC} + \widehat {OAH} = \widehat {KAC}\)\(\left( { *  * } \right)\)

Từ \(\left(  *  \right)\) và \(\left( { *  * } \right)\)\( \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KAC}\)

Gọi \(M\) là giao điểm của \(AK\) và \(DC\)

 $\Rightarrow \Delta DMK\backsim \Delta AMC$

 \( \Rightarrow \frac{{MD}}{{MA}} = \frac{{MK}}{{MC}}\)\( \Rightarrow \frac{{MD}}{{MK}} = \frac{{MA}}{{MC}}\)

\( \Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {MKC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow AK \bot KC\)

Mà \(AK \bot SO\)

\[ \Rightarrow CK{\rm{ // }}SO\] (từ vuông góc đến song song)

Vậy \(BQ \cdot BA = BD \cdot BI\) và \[CK{\rm{ // }}SO\].