(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x + 8}}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}} - \frac{{x + 12\sqrt x }}{{x - 16}}\) với \(x \ge 0;x \ne 16\).
1) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\).
2) Chứng minh rằng \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}}\).
3) Cho \(P = \frac{B}{A}\). Tìm tất cả các giá trị của \[x\] để \(P \le \sqrt P \).
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x + 8}}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}} - \frac{{x + 12\sqrt x }}{{x - 16}}\) với \(x \ge 0;x \ne 16\).
1) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\).
2) Chứng minh rằng \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}}\).
3) Cho \(P = \frac{B}{A}\). Tìm tất cả các giá trị của \[x\] để \(P \le \sqrt P \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A\), ta có:
\(A = \frac{{\sqrt 4 + 3}}{{2\sqrt 4 + 8}} = \frac{{2 + 3}}{{2 \cdot 2 + 8}} = \frac{5}{{4 + 8}} = \frac{5}{{12}}\)
Vậy \(x = 4\) thì \(A = \frac{5}{{12}}\).
2) Với \(x \ge 0;x \ne 16\), ta có:
\(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}} - \frac{{x + 12\sqrt x }}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}}\)
\(B = \frac{{2\sqrt x (\sqrt x + 4) - (x + 12\sqrt x )}}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}}\)
\(B = \frac{{2x + 8\sqrt x - x - 12\sqrt x }}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}}\)
\(B = \frac{{x - 4\sqrt x }}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 4)}}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}}\) (đpcm)
3) Ta có \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}}:\frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x + 8}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} \cdot \frac{{2(\sqrt x + 4)}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)
Với \(x \ge 0\), ta có \(2\sqrt x \ge 0\) và \(\sqrt x + 3 > 0\). Do đó \(P \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).
Suy ra \(\sqrt P \) xác định.
Ta có \(P \le \sqrt P \)
\(P - \sqrt P \le 0\)
\(\sqrt P (\sqrt P - 1) \le 0\)
mà \(\sqrt P \ge 0\) nên \(\sqrt P - 1 \le 0\)
Suy ra \(\sqrt P \le 1\)
\(P \le 1\)
\(\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} \le 1\)
\(2\sqrt x \le \sqrt x + 3\) (vì \(\sqrt x + 3 > 0\))
\(\sqrt x \le 3\)
\(x \le 9\)
Kết hợp điều kiện xác định, ta được: \(0 \le x \le 9\)
Vậy để \(P \le \sqrt P \) thì \(0 \le x \le 9\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi vận tốc xe tải là \(x\) (km/h), \(x > 0\)
Vận tốc xe con là \(x + 5\) (km/h)
Thời gian xe tải đi là \(\frac{{270}}{x}\) (giờ)
Thời gian xe con đi là \(\frac{{270}}{{x + 5}}\) (giờ)
Vì xe con đi sau xe tải \(45\)phút = \(\frac{3}{4}\), hai xe đến B cùng một lúc nên ta có phương trình
\(\frac{{270}}{x} - \frac{{270}}{{x + 10}} = \frac{3}{4}\)
Đưa về phương trình \({x^2} + 5x - 1800 = 0\)
\(\left( {x + 45} \right)\left( {x - 40} \right) = 0\)
Phương trình có hai nghiệm \(x = - 45;x = 40\,\,\)
Đối chiếu điều kiện ta được \(x = 40\,\,\)
Vận tốc của xe tải là \(40\,\,km/h\), vận tốc của xe con là \(45\,\,km/h\)
Lời giải
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\left( {m,0 < x \le 4} \right)\).
Chiều dài của hình chữ nhật là \(2y\left( {m,y > 0} \right)\).
Xét \(\Delta ONP\) vuông tại \[P\] ta có
\({x^2} + {y^2} = 16\)
Suy ra \(y = \sqrt {16 - {x^2}} \)
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
\({S_{MNPQ}} = x \cdot 2 \cdot \sqrt {16 - {x^2}} = 2 \cdot x \cdot \sqrt {16 - {x^2}} .\)
Áp dụng BĐT Cauchuy, ta có:
\(S \le 2 \cdot \frac{{{x^2} + 16 - {x^2}}}{2} = 16\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \sqrt {16 - {x^2}} \)
Nên \[{x^2} = 16 - {x^2}\]
Suy ra \(x = 2\sqrt 2 \)
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 16 (đvdt).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập