(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x + 8}}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}} - \frac{{x + 12\sqrt x }}{{x - 16}}\) với \(x \ge 0;x \ne 16\).
1) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\).
2) Chứng minh rằng \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}}\).
3) Cho \(P = \frac{B}{A}\). Tìm tất cả các giá trị của \[x\] để \(P \le \sqrt P \).
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x + 8}}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}} - \frac{{x + 12\sqrt x }}{{x - 16}}\) với \(x \ge 0;x \ne 16\).
1) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\).
2) Chứng minh rằng \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}}\).
3) Cho \(P = \frac{B}{A}\). Tìm tất cả các giá trị của \[x\] để \(P \le \sqrt P \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A\), ta có:
\(A = \frac{{\sqrt 4 + 3}}{{2\sqrt 4 + 8}} = \frac{{2 + 3}}{{2 \cdot 2 + 8}} = \frac{5}{{4 + 8}} = \frac{5}{{12}}\)
Vậy \(x = 4\) thì \(A = \frac{5}{{12}}\).
2) Với \(x \ge 0;x \ne 16\), ta có:
\(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}} - \frac{{x + 12\sqrt x }}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}}\)
\(B = \frac{{2\sqrt x (\sqrt x + 4) - (x + 12\sqrt x )}}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}}\)
\(B = \frac{{2x + 8\sqrt x - x - 12\sqrt x }}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}}\)
\(B = \frac{{x - 4\sqrt x }}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 4)}}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt x + 4)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}}\) (đpcm)
3) Ta có \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}}:\frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x + 8}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} \cdot \frac{{2(\sqrt x + 4)}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)
Với \(x \ge 0\), ta có \(2\sqrt x \ge 0\) và \(\sqrt x + 3 > 0\). Do đó \(P \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).
Suy ra \(\sqrt P \) xác định.
Ta có \(P \le \sqrt P \)
\(P - \sqrt P \le 0\)
\(\sqrt P (\sqrt P - 1) \le 0\)
mà \(\sqrt P \ge 0\) nên \(\sqrt P - 1 \le 0\)
Suy ra \(\sqrt P \le 1\)
\(P \le 1\)
\(\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} \le 1\)
\(2\sqrt x \le \sqrt x + 3\) (vì \(\sqrt x + 3 > 0\))
\(\sqrt x \le 3\)
\(x \le 9\)
Kết hợp điều kiện xác định, ta được: \(0 \le x \le 9\)
Vậy để \(P \le \sqrt P \) thì \(0 \le x \le 9\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi vận tốc xe tải là \(x\) (km/h), \(x > 0\)
Vận tốc xe con là \(x + 5\) (km/h)
Thời gian xe tải đi là \(\frac{{270}}{x}\) (giờ)
Thời gian xe con đi là \(\frac{{270}}{{x + 5}}\) (giờ)
Vì xe con đi sau xe tải \(45\)phút = \(\frac{3}{4}\), hai xe đến B cùng một lúc nên ta có phương trình
\(\frac{{270}}{x} - \frac{{270}}{{x + 10}} = \frac{3}{4}\)
Đưa về phương trình \({x^2} + 5x - 1800 = 0\)
\(\left( {x + 45} \right)\left( {x - 40} \right) = 0\)
Phương trình có hai nghiệm \(x = - 45;x = 40\,\,\)
Đối chiếu điều kiện ta được \(x = 40\,\,\)
Vận tốc của xe tải là \(40\,\,km/h\), vận tốc của xe con là \(45\,\,km/h\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\left( {m,0 < x \le 4} \right)\).
Chiều dài của hình chữ nhật là \(2y\left( {m,y > 0} \right)\).
Xét \(\Delta ONP\) vuông tại \[P\] ta có
\({x^2} + {y^2} = 16\)
Suy ra \(y = \sqrt {16 - {x^2}} \)
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
\({S_{MNPQ}} = x \cdot 2 \cdot \sqrt {16 - {x^2}} = 2 \cdot x \cdot \sqrt {16 - {x^2}} .\)
Áp dụng BĐT Cauchuy, ta có:
\(S \le 2 \cdot \frac{{{x^2} + 16 - {x^2}}}{2} = 16\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \sqrt {16 - {x^2}} \)
Nên \[{x^2} = 16 - {x^2}\]
Suy ra \(x = 2\sqrt 2 \)
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 16 (đvdt).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập