(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{2\sqrt x  + 8}}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} - \frac{{x + 12\sqrt x }}{{x - 16}}\) với \(x \ge 0;x \ne 16\).

1) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\).

2) Chứng minh rằng \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}}\).

3) Cho \(P = \frac{B}{A}\). Tìm tất cả các giá trị của \[x\] để \(P \le \sqrt P \).

Gọi vận tốc xe tải là \(x\) (km/h), \(x > 0\)

Vận tốc xe con là  \(x + 5\) (km/h)

Thời gian xe tải đi là \(\frac{{270}}{x}\)  (giờ)

Thời gian xe con đi là \(\frac{{270}}{{x + 5}}\)  (giờ)

Vì xe con đi sau xe tải \(45\)phút = \(\frac{3}{4}\), hai xe đến B cùng một lúc nên ta có phương trình

\(\frac{{270}}{x} - \frac{{270}}{{x + 10}} = \frac{3}{4}\)

Đưa về phương trình \({x^2} + 5x - 1800 = 0\)

\(\left( {x + 45} \right)\left( {x - 40} \right) = 0\)

Phương trình có hai nghiệm \(x =  - 45;x = 40\,\,\)

Đối chiếu điều kiện ta được \(x = 40\,\,\)

Vận tốc của xe tải là \(40\,\,km/h\), vận tốc của xe con là \(45\,\,km/h\)

a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: \(OA \bot AS\) (vì \(SA\) là tiếp tuyến của (O)\( \Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta SAO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\)

\( \Rightarrow S,A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\) (1)

Ta có: \(OH \bot BC\)\( \Rightarrow \widehat {SHO} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta SHO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\)

\( \Rightarrow S,H,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm \(S,O,H,A\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(SO\)

a)       Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt đường thẳng KC tại P. Chứng minh \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\) và \(PK.CH = AB.OK\).

b1) Ta có  \(\widehat {SOA} = \widehat {POK}\)(hai góc đối đỉnh)

Xét đường tròn đường kính \(SO\) có :

\(\widehat {AOS} = \widehat {AHB}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AS\))

Lại có  \(\widehat {SOA} = \widehat {POK}\)(hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\)

b2) Xét \(\left( O \right)\)có \(\widehat {ABC} = \widehat {AKC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn )

Chứng minh \(\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)\)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{PK}} = \frac{{BH}}{{OK}}\,\,\,m\`a \,\,\,BH = CH\)

\( \to AB.OK = PK.CH\)

c) Gọi D là giao điểm của AP với (O) (D khác A). Q là giao điểm của DC và BK, I là giao điểm của BC và DK. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt SA tại J. Chứng minh \(QI\,{\rm{//}}\,BJ\).

\(\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta PKA\)(bổ đề trung tuyến)

 $\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{PAK}\\ mà\widehat{BCK}=\widehat{BAK}\left(=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BK}\right)\\ \widehat{ACB}+\widehat{BCK}=\widehat{PAK}+\widehat{BAK}\\ \Rightarrow \widehat{PAB}=90°\end{array}$

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DAB} = 90^\circ \) 

\( \Rightarrow \) \(BADK\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow \)\(B,O,D\)thẳng hàng

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BKD} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta BDQ\) có \(DK,BC\) là đường cao 

\( \Rightarrow \) \(QI \bot BD\) 

Mà \(JB \bot BD\) (\(JB\)là tiếp tuyến của (O)

\( \Rightarrow \) \(JB//QI\)