Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn (O) (\(AB < AC\)). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia CB tại S. Kẻ \(OH \bot BC(H \in BC)\).
a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, H cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt đường thẳng KC tại P. Chứng minh \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\) và \(PK.CH = AB.OK\).
c) Gọi D là giao điểm của AP với (O) (D khác A). Q là giao điểm của DC và BK, I là giao điểm của BC và DK. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt SA tại J. Chứng minh \(QI\parallel BJ\).
Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn (O) (\(AB < AC\)). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia CB tại S. Kẻ \(OH \bot BC(H \in BC)\).
a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, H cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt đường thẳng KC tại P. Chứng minh \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\) và \(PK.CH = AB.OK\).
c) Gọi D là giao điểm của AP với (O) (D khác A). Q là giao điểm của DC và BK, I là giao điểm của BC và DK. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt SA tại J. Chứng minh \(QI\parallel BJ\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, H cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: \(OA \bot AS\) (vì \(SA\) là tiếp tuyến của (O)\( \Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \Delta SAO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\)
\( \Rightarrow S,A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\) (1)
Ta có: \(OH \bot BC\)\( \Rightarrow \widehat {SHO} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \Delta SHO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\)
\( \Rightarrow S,H,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm \(S,O,H,A\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(SO\)
a) Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt đường thẳng KC tại P. Chứng minh \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\) và \(PK.CH = AB.OK\).
b1) Ta có \(\widehat {SOA} = \widehat {POK}\)(hai góc đối đỉnh)
Xét đường tròn đường kính \(SO\) có :
\(\widehat {AOS} = \widehat {AHB}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AS\))
Lại có \(\widehat {SOA} = \widehat {POK}\)(hai góc đối đỉnh)
Suy ra \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\)
b2) Xét \(\left( O \right)\)có \(\widehat {ABC} = \widehat {AKC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn )
Chứng minh \(\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)\)
Suy ra \(\frac{{AB}}{{PK}} = \frac{{BH}}{{OK}}\,\,\,m\`a \,\,\,BH = CH\)
\( \to AB.OK = PK.CH\)
c) Gọi D là giao điểm của AP với (O) (D khác A). Q là giao điểm của DC và BK, I là giao điểm của BC và DK. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt SA tại J. Chứng minh \(QI\,{\rm{//}}\,BJ\).
\(\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)\)
\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta PKA\)(bổ đề trung tuyến)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {DAB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \) \(BADK\) là hình chữ nhật
\( \Rightarrow \)\(B,O,D\)thẳng hàng
\( \Rightarrow \)\(\widehat {BKD} = 90^\circ \)
Xét \(\Delta BDQ\) có \(DK,BC\) là đường cao
\( \Rightarrow \) \(QI \bot BD\)
Mà \(JB \bot BD\) (\(JB\)là tiếp tuyến của (O)
\( \Rightarrow \) \(JB//QI\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi vận tốc xe tải là \(x\) (km/h), \(x > 0\)
Vận tốc xe con là \(x + 5\) (km/h)
Thời gian xe tải đi là \(\frac{{270}}{x}\) (giờ)
Thời gian xe con đi là \(\frac{{270}}{{x + 5}}\) (giờ)
Vì xe con đi sau xe tải \(45\)phút = \(\frac{3}{4}\), hai xe đến B cùng một lúc nên ta có phương trình
\(\frac{{270}}{x} - \frac{{270}}{{x + 10}} = \frac{3}{4}\)
Đưa về phương trình \({x^2} + 5x - 1800 = 0\)
\(\left( {x + 45} \right)\left( {x - 40} \right) = 0\)
Phương trình có hai nghiệm \(x = - 45;x = 40\,\,\)
Đối chiếu điều kiện ta được \(x = 40\,\,\)
Vận tốc của xe tải là \(40\,\,km/h\), vận tốc của xe con là \(45\,\,km/h\)
Lời giải
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\left( {m,0 < x \le 4} \right)\).
Chiều dài của hình chữ nhật là \(2y\left( {m,y > 0} \right)\).
Xét \(\Delta ONP\) vuông tại \[P\] ta có
\({x^2} + {y^2} = 16\)
Suy ra \(y = \sqrt {16 - {x^2}} \)
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
\({S_{MNPQ}} = x \cdot 2 \cdot \sqrt {16 - {x^2}} = 2 \cdot x \cdot \sqrt {16 - {x^2}} .\)
Áp dụng BĐT Cauchuy, ta có:
\(S \le 2 \cdot \frac{{{x^2} + 16 - {x^2}}}{2} = 16\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \sqrt {16 - {x^2}} \)
Nên \[{x^2} = 16 - {x^2}\]
Suy ra \(x = 2\sqrt 2 \)
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 16 (đvdt).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập