(1,5 điểm)

Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính \(R = 4\;cm\), người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (xem hình vẽ). Diện tích lớn nhất của miếng tôn hình chữ nhật bằng bao nhiêu xăng ti mét vuông?

Gọi vận tốc xe tải là \(x\) (km/h), \(x > 0\)

Vận tốc xe con là  \(x + 5\) (km/h)

Thời gian xe tải đi là \(\frac{{270}}{x}\)  (giờ)

Thời gian xe con đi là \(\frac{{270}}{{x + 5}}\)  (giờ)

Vì xe con đi sau xe tải \(45\)phút = \(\frac{3}{4}\), hai xe đến B cùng một lúc nên ta có phương trình

\(\frac{{270}}{x} - \frac{{270}}{{x + 10}} = \frac{3}{4}\)

Đưa về phương trình \({x^2} + 5x - 1800 = 0\)

\(\left( {x + 45} \right)\left( {x - 40} \right) = 0\)

Phương trình có hai nghiệm \(x =  - 45;x = 40\,\,\)

Đối chiếu điều kiện ta được \(x = 40\,\,\)

Vận tốc của xe tải là \(40\,\,km/h\), vận tốc của xe con là \(45\,\,km/h\)

a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: \(OA \bot AS\) (vì \(SA\) là tiếp tuyến của (O)\( \Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta SAO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\)

\( \Rightarrow S,A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\) (1)

Ta có: \(OH \bot BC\)\( \Rightarrow \widehat {SHO} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta SHO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\)

\( \Rightarrow S,H,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm \(S,O,H,A\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(SO\)

a)       Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt đường thẳng KC tại P. Chứng minh \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\) và \(PK.CH = AB.OK\).

b1) Ta có  \(\widehat {SOA} = \widehat {POK}\)(hai góc đối đỉnh)

Xét đường tròn đường kính \(SO\) có :

\(\widehat {AOS} = \widehat {AHB}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AS\))

Lại có  \(\widehat {SOA} = \widehat {POK}\)(hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\)

b2) Xét \(\left( O \right)\)có \(\widehat {ABC} = \widehat {AKC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn )

Chứng minh \(\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)\)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{PK}} = \frac{{BH}}{{OK}}\,\,\,m\`a \,\,\,BH = CH\)

\( \to AB.OK = PK.CH\)

c) Gọi D là giao điểm của AP với (O) (D khác A). Q là giao điểm của DC và BK, I là giao điểm của BC và DK. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt SA tại J. Chứng minh \(QI\,{\rm{//}}\,BJ\).

\(\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta PKA\)(bổ đề trung tuyến)

 $\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{PAK}\\ mà\widehat{BCK}=\widehat{BAK}\left(=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BK}\right)\\ \widehat{ACB}+\widehat{BCK}=\widehat{PAK}+\widehat{BAK}\\ \Rightarrow \widehat{PAB}=90°\end{array}$

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DAB} = 90^\circ \) 

\( \Rightarrow \) \(BADK\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow \)\(B,O,D\)thẳng hàng

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BKD} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta BDQ\) có \(DK,BC\) là đường cao 

\( \Rightarrow \) \(QI \bot BD\) 

Mà \(JB \bot BD\) (\(JB\)là tiếp tuyến của (O)

\( \Rightarrow \) \(JB//QI\)