(2,5 điểm) 

Một xe ô tô tải khởi hành từ A để đi đến B trên quãng đường AB dài \(270\)km. Sau đó \(45\) phút, một ô tô con cũng khởi hành từ A để đi đến B trên cùng con đường đó, hai xe đến B cùng một lúc. Biết vận tốc xe ô tô tải nhỏ hơn vận tốc xe ô tô con là \(5\)km/h. Tính vận tốc mỗi xe.

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\left( {m,0 < x \le 4} \right)\).

Chiều dài của hình chữ nhật là \(2y\left( {m,y > 0} \right)\).

Xét \(\Delta ONP\) vuông tại \[P\] ta có

\({x^2} + {y^2} = 16\)

Suy ra \(y = \sqrt {16 - {x^2}} \)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

\({S_{MNPQ}} = x \cdot 2 \cdot \sqrt {16 - {x^2}}  = 2 \cdot x \cdot \sqrt {16 - {x^2}} .\)

Áp dụng BĐT Cauchuy, ta có:

\(S \le 2 \cdot \frac{{{x^2} + 16 - {x^2}}}{2} = 16\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \sqrt {16 - {x^2}} \)

Nên \[{x^2} = 16 - {x^2}\]

Suy ra \(x = 2\sqrt 2 \)

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 16 (đvdt).

a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: \(OA \bot AS\) (vì \(SA\) là tiếp tuyến của (O)\( \Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta SAO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\)

\( \Rightarrow S,A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\) (1)

Ta có: \(OH \bot BC\)\( \Rightarrow \widehat {SHO} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta SHO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\)

\( \Rightarrow S,H,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm \(S,O,H,A\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(SO\)

a)       Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt đường thẳng KC tại P. Chứng minh \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\) và \(PK.CH = AB.OK\).

b1) Ta có  \(\widehat {SOA} = \widehat {POK}\)(hai góc đối đỉnh)

Xét đường tròn đường kính \(SO\) có :

\(\widehat {AOS} = \widehat {AHB}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AS\))

Lại có  \(\widehat {SOA} = \widehat {POK}\)(hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat {SHA} = \widehat {POK}\)

b2) Xét \(\left( O \right)\)có \(\widehat {ABC} = \widehat {AKC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn )

Chứng minh \(\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)\)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{PK}} = \frac{{BH}}{{OK}}\,\,\,m\`a \,\,\,BH = CH\)

\( \to AB.OK = PK.CH\)

c) Gọi D là giao điểm của AP với (O) (D khác A). Q là giao điểm của DC và BK, I là giao điểm của BC và DK. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt SA tại J. Chứng minh \(QI\,{\rm{//}}\,BJ\).

\(\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta PKA\)(bổ đề trung tuyến)

 $\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{PAK}\\ mà\widehat{BCK}=\widehat{BAK}\left(=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BK}\right)\\ \widehat{ACB}+\widehat{BCK}=\widehat{PAK}+\widehat{BAK}\\ \Rightarrow \widehat{PAB}=90°\end{array}$

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DAB} = 90^\circ \) 

\( \Rightarrow \) \(BADK\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow \)\(B,O,D\)thẳng hàng

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BKD} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta BDQ\) có \(DK,BC\) là đường cao 

\( \Rightarrow \) \(QI \bot BD\) 

Mà \(JB \bot BD\) (\(JB\)là tiếp tuyến của (O)

\( \Rightarrow \) \(JB//QI\)