(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{1 - x}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).
1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 144\).
2) Chứng minh \(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\).
3) Tìm các giá trị nguyên dương của \(x\) để biểu thức \(P + Q\) đạt giá trị lớn nhất.
1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 144\).
2) Chứng minh \(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\).
3) Tìm các giá trị nguyên dương của \(x\) để biểu thức \(P + Q\) đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Thay \(x = 144\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P\) ta được:
\(P = \frac{{\sqrt {144} }}{{\sqrt {144} + 1}} = \frac{{12}}{{12 + 1}} = \frac{{12}}{{13}}\). Vậy \(x = 144\) thì \(P = \frac{{12}}{{13}}\).
2) Ta có:
\(P + Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{1 - x}}\)
\(P + Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(P + Q = \frac{{x - \sqrt x + x + 2\sqrt x + 1 - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) (điều phải chứng minh)
Vậy \(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).
3) Ta có: \(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2 + \frac{5}{{x - 1}}\)
Vì \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(2x + 3 > 0\). Do đó \(P + Q > 0\) khi \(x > 1\) và \(P + Q < 0\) khi \(0 \le x < 1\).
Để \(P + Q\) đạt giá trị lớn nhất thì \(P + Q > 0\) và \(\frac{5}{{x - 1}}\) đạt giá trị lớn nhất.
Suy ra \(x > 1\) và \(\left( {x - 1} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất, mà \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện).
Khi đó \(\max \left( {P + Q} \right) = \frac{{2.2 + 3}}{{2 - 1}} = 7\)
Vậy \(\max \left( {P + Q} \right) = 7\) khi \(x = 2\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi số gam đậu nành và thịt gà cần sử dụng lần lượt là \[x\] và \[y\] (gam) \[\left( {x,y > 0} \right)\]
Số đơn vị protein có trong \[x\] gam đậu nành là \[80x:100 = 0,8x\] (đơn vị protein)
Số đơn vị protein có trong \[y\] gam thịt gà là \[60y:100 = 0,6y\] (đơn vị protein)
Do gia đình cần đảm bảo mỗi ngày có đủ \(900\) đơn vị protein nên ta có phương trình:
\[0,8x + 0,6y = 900\] (1)
Số đơn vị lipit có trong \[x\] gam đậu nành là \[20x:100 = 0,2x\] (đơn vị lipit)
Số đơn vị lipit có trong \[y\] gam thịt gà là \[40y:100 = 0,4y\] (đơn vị lipit)
Do gia đình cần đảm bảo mỗi ngày có đủ \(400\) đơn vị lipit nên ta có phương trình:
\[0,2x + 0,4y = 400\] (2)
Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 4 ta có \[0,8x + 1,6y = 1600\] (3)
Trừ từng vế của phương trình (1) và (3) ta có: \[x = 700\](TM)
Thay \[x = 700\]vào (1), ta được: \[0,8x + 0,6.700 = 900\]
\[0,8x = 480\]
\[x = 600\] (TM)
Vậy số gam đậu nành và thịt gà cần sử dụng lần lượt là \[600\] gam và \[400\] gam.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
Cỡ giày |
\[36\] |
\[37\] |
\[38\] |
\[39\] |
\[40\] |
Tổng |
|
Tần số (n |
\[28\] |
\[37\] |
\[30\] |
\[10\] |
\[15\] |
\[N = 120\] |
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập