(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  - 2}}{{1 - x}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 144\).

2) Chứng minh \(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\).

3) Tìm các giá trị nguyên dương của \(x\) để biểu thức \(P + Q\) đạt giá trị lớn nhất.

1) Thay \(x = 144\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P\) ta được:

\(P = \frac{{\sqrt {144} }}{{\sqrt {144}  + 1}} = \frac{{12}}{{12 + 1}} = \frac{{12}}{{13}}\).  Vậy \(x = 144\) thì \(P = \frac{{12}}{{13}}\).

2) Ta có:

\(P + Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  - 2}}{{1 - x}}\)

\(P + Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(P + Q = \frac{{x - \sqrt x  + x + 2\sqrt x  + 1 - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) (điều phải chứng minh)

Vậy \(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) với  \(x \ge 0;x \ne 1\).

3) Ta có: \(P + Q = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2 + \frac{5}{{x - 1}}\)

Vì \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(2x + 3 > 0\). Do đó \(P + Q > 0\) khi \(x > 1\) và \(P + Q < 0\) khi \(0 \le x < 1\).

Để \(P + Q\) đạt giá trị lớn nhất thì \(P + Q > 0\) và \(\frac{5}{{x - 1}}\) đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra \(x > 1\) và \(\left( {x - 1} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất, mà \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện).

Khi đó \(\max \left( {P + Q} \right) = \frac{{2.2 + 3}}{{2 - 1}} = 7\)

Vậy \(\max \left( {P + Q} \right) = 7\) khi \(x = 2\).