Một chiếc túi đựng \(10\) viên bi màu vàng được đánh số từ \(1\) đến \(10\) và \(5\) viên bi màu xanh được đánh số từ \(11\) đến \(15\) (tất cả các viên bi có cùng kích thước và khối lượng). Bạn Lan lấy ngẫu nhiên một viên bi trong túi. Tính xác suất của biên cố \(A\)”Viên bi được lấy ra có màu xanh hoặc được đánh số lẻ”.

a) Ta có \[\widehat {HDC} = {90^0}\] (đường cao \[AD\])

             \[\widehat {HEC} = {90^0}\] (đường cao \[BE\])

Xét  vuông tại \[D\] có ba điểm \[H,D,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HC\] (1).

Xét  vuông tại \[E\] có ba điểm \[H,E,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HC\] (2).

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \[D,H,E,C\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét \[\left( O \right)\] có \[\widehat {ACK} = {90^0}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $△BAD$  và $△KAC$  có

\[\widehat {ACK} = \widehat {ADB}\left( { = {{90}^0}} \right)\]

\[\widehat {ABD} = \widehat {AKC}\](cùng chắn cung \[AC\])

 $△BAD\backsim △KAC\left(g.g\right)$

\[ \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {KAC}\] hay \[\widehat {BAH} = \widehat {NAE}\]

Xét  vuông tại \[E\] có \[EM\] là đường trung tuyến  cân tại \[C\]

\[\widehat {MEC} = \widehat {MCE}\].

Vì bốn điểm \[D,H,E,C\] cùng thuộc một đường tròn nên tứ giác \[DHEC\] nội tiếp

\[ \Rightarrow \widehat {EHD} = {180^0} - \widehat {MCE}\]

mà \[\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\,\]

\[ \Rightarrow \widehat {AHB} = {180^0} - \widehat {MEC}\]

Lại có \[\widehat {AEN} = {180^0} - \widehat {MEC} = {180^0} - \widehat {MCE} \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AEN}\]

Xét $△AEN$ và $△AHB$ có

\[\widehat {BAH} = \widehat {NAE}\left( {cmt} \right)\]

\[\widehat {AEN} = \widehat {AHB}\] (cmt)

 $△AEN\backsim △AHB\left(g.g\right)$

\[ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{AB}} \Rightarrow AE.AB = AN.AH\]

c) Ta có \[\widehat {AHE} = {180^0} - \widehat {AHB}\]

                \[\begin{array}{l}\widehat {MEC} = {180^0} - \widehat {AEN}\\ \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {MEC}\end{array}\]

mà \[AD//PQ \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {EPQ} \Rightarrow \widehat {MEC} = \widehat {EPQ}\,\left( 3 \right)\]

$△AHB\backsim △AEN\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\frac{HB}{EN}$  mà \[HP = HB \Rightarrow \frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{HP}}{{EN}}\]

\[PQ//AH \Rightarrow \frac{{PQ}}{{EQ}} = \frac{{AH}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{PQ}}{{EQ}} = \frac{{HP}}{{EN}}\,\,\left( 4 \right)\]

Từ (3) và (4) suy ra $△PQH\backsim △EQN\left(c.g.c\right)\Rightarrow \frac{PQ}{HQ}=\frac{EQ}{NQ}\left(5\right)$

và \[\widehat {PQH} = \widehat {EQN}\]

mà \[\widehat {PQH} = \widehat {PQE} + \widehat {EQH}\]

     \[\widehat {EQN} = \widehat {HQN} + \widehat {EQH}\]

\[ \Rightarrow \widehat {PQE} = \widehat {HQN}\,\,\left( 6 \right)\]

Từ (5) và (6) $\Rightarrow △PQE\backsim △HQN\left(c.g.c\right)\Rightarrow \widehat{PEQ}=\widehat{HNQ}\Rightarrow \widehat{HNQ}={90}^0$.

Gọi số tiền điện và tiền nước gia đình ông B trả trong tháng 4 là \(x,y\) (nghìn đồng, \(x,y > 0\)).

Tồng tiền điện và nước của ông trong tháng 4 là \(800\) nghìn đồng nên ta có phương trình

\(x + y = 800\)

Tổng chi phí điện và nước tháng 5 của gia đình ông là \(670\) nghìn đồng nên

\(80{\rm{\% }}x + 110{\rm{\% }}y = 670\) hay \(0,8x + 1,1y = 670\)

Suy ra hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{0,8x + 1,1y = 670}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,8x + 0,8y = 640}\\{0,8x + 1,1y = 670}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,8x + 0,8y = 640}\\{0,8x + 1,1y - \left( {0,8x + 0,8y} \right) = 670 - 640}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{0,3y = 30}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{y = 100}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 700}\\{y = 100}\end{array}} \right.\,\left( {tm} \right)\)

Vậy háng 4 gia đình ông Bình trà \(700\) nghìn đồng tiền điện và \(100\) nghìn đồng tiền nước.