Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích \(5\)ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh, Nếu trồng cà rốt trên \(1\)ha cần phải dùng \(3\)tấn phân vi sinh và thu được \(50\)triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên \(1\)ha cần dùng \(5\)tấn phân vi sinh và thu được \(75\)triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá \(18\)tấn.

a) Ta có \[\widehat {HDC} = {90^0}\] (đường cao \[AD\])

             \[\widehat {HEC} = {90^0}\] (đường cao \[BE\])

Xét  vuông tại \[D\] có ba điểm \[H,D,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HC\] (1).

Xét  vuông tại \[E\] có ba điểm \[H,E,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HC\] (2).

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \[D,H,E,C\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét \[\left( O \right)\] có \[\widehat {ACK} = {90^0}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $△BAD$  và $△KAC$  có

\[\widehat {ACK} = \widehat {ADB}\left( { = {{90}^0}} \right)\]

\[\widehat {ABD} = \widehat {AKC}\](cùng chắn cung \[AC\])

 $△BAD\backsim △KAC\left(g.g\right)$

\[ \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {KAC}\] hay \[\widehat {BAH} = \widehat {NAE}\]

Xét  vuông tại \[E\] có \[EM\] là đường trung tuyến  cân tại \[C\]

\[\widehat {MEC} = \widehat {MCE}\].

Vì bốn điểm \[D,H,E,C\] cùng thuộc một đường tròn nên tứ giác \[DHEC\] nội tiếp

\[ \Rightarrow \widehat {EHD} = {180^0} - \widehat {MCE}\]

mà \[\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\,\]

\[ \Rightarrow \widehat {AHB} = {180^0} - \widehat {MEC}\]

Lại có \[\widehat {AEN} = {180^0} - \widehat {MEC} = {180^0} - \widehat {MCE} \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AEN}\]

Xét $△AEN$ và $△AHB$ có

\[\widehat {BAH} = \widehat {NAE}\left( {cmt} \right)\]

\[\widehat {AEN} = \widehat {AHB}\] (cmt)

 $△AEN\backsim △AHB\left(g.g\right)$

\[ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{AB}} \Rightarrow AE.AB = AN.AH\]

c) Ta có \[\widehat {AHE} = {180^0} - \widehat {AHB}\]

                \[\begin{array}{l}\widehat {MEC} = {180^0} - \widehat {AEN}\\ \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {MEC}\end{array}\]

mà \[AD//PQ \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {EPQ} \Rightarrow \widehat {MEC} = \widehat {EPQ}\,\left( 3 \right)\]

$△AHB\backsim △AEN\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\frac{HB}{EN}$  mà \[HP = HB \Rightarrow \frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{HP}}{{EN}}\]

\[PQ//AH \Rightarrow \frac{{PQ}}{{EQ}} = \frac{{AH}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{PQ}}{{EQ}} = \frac{{HP}}{{EN}}\,\,\left( 4 \right)\]

Từ (3) và (4) suy ra $△PQH\backsim △EQN\left(c.g.c\right)\Rightarrow \frac{PQ}{HQ}=\frac{EQ}{NQ}\left(5\right)$

và \[\widehat {PQH} = \widehat {EQN}\]

mà \[\widehat {PQH} = \widehat {PQE} + \widehat {EQH}\]

     \[\widehat {EQN} = \widehat {HQN} + \widehat {EQH}\]

\[ \Rightarrow \widehat {PQE} = \widehat {HQN}\,\,\left( 6 \right)\]

Từ (5) và (6) $\Rightarrow △PQE\backsim △HQN\left(c.g.c\right)\Rightarrow \widehat{PEQ}=\widehat{HNQ}\Rightarrow \widehat{HNQ}={90}^0$.

Gọi số tiền điện và tiền nước gia đình ông B trả trong tháng 4 là \(x,y\) (nghìn đồng, \(x,y > 0\)).

Tồng tiền điện và nước của ông trong tháng 4 là \(800\) nghìn đồng nên ta có phương trình

\(x + y = 800\)

Tổng chi phí điện và nước tháng 5 của gia đình ông là \(670\) nghìn đồng nên

\(80{\rm{\% }}x + 110{\rm{\% }}y = 670\) hay \(0,8x + 1,1y = 670\)

Suy ra hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{0,8x + 1,1y = 670}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,8x + 0,8y = 640}\\{0,8x + 1,1y = 670}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,8x + 0,8y = 640}\\{0,8x + 1,1y - \left( {0,8x + 0,8y} \right) = 670 - 640}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{0,3y = 30}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{y = 100}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 700}\\{y = 100}\end{array}} \right.\,\left( {tm} \right)\)

Vậy háng 4 gia đình ông Bình trà \(700\) nghìn đồng tiền điện và \(100\) nghìn đồng tiền nước.