Biết rằng phương trình bậc hai \({x^2} + 4mx - 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\), tìm tất cả giá trị của \(m\)thỏa mãn \({m^2} - 9 = \frac{4}{{{x_2}}} - 2{x_2}\).

a) Ta có \[\widehat {HDC} = {90^0}\] (đường cao \[AD\])

             \[\widehat {HEC} = {90^0}\] (đường cao \[BE\])

Xét  vuông tại \[D\] có ba điểm \[H,D,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HC\] (1).

Xét  vuông tại \[E\] có ba điểm \[H,E,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HC\] (2).

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \[D,H,E,C\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét \[\left( O \right)\] có \[\widehat {ACK} = {90^0}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $△BAD$  và $△KAC$  có

\[\widehat {ACK} = \widehat {ADB}\left( { = {{90}^0}} \right)\]

\[\widehat {ABD} = \widehat {AKC}\](cùng chắn cung \[AC\])

 $△BAD\backsim △KAC\left(g.g\right)$

\[ \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {KAC}\] hay \[\widehat {BAH} = \widehat {NAE}\]

Xét  vuông tại \[E\] có \[EM\] là đường trung tuyến  cân tại \[C\]

\[\widehat {MEC} = \widehat {MCE}\].

Vì bốn điểm \[D,H,E,C\] cùng thuộc một đường tròn nên tứ giác \[DHEC\] nội tiếp

\[ \Rightarrow \widehat {EHD} = {180^0} - \widehat {MCE}\]

mà \[\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\,\]

\[ \Rightarrow \widehat {AHB} = {180^0} - \widehat {MEC}\]

Lại có \[\widehat {AEN} = {180^0} - \widehat {MEC} = {180^0} - \widehat {MCE} \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AEN}\]

Xét $△AEN$ và $△AHB$ có

\[\widehat {BAH} = \widehat {NAE}\left( {cmt} \right)\]

\[\widehat {AEN} = \widehat {AHB}\] (cmt)

 $△AEN\backsim △AHB\left(g.g\right)$

\[ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{AB}} \Rightarrow AE.AB = AN.AH\]

c) Ta có \[\widehat {AHE} = {180^0} - \widehat {AHB}\]

                \[\begin{array}{l}\widehat {MEC} = {180^0} - \widehat {AEN}\\ \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {MEC}\end{array}\]

mà \[AD//PQ \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {EPQ} \Rightarrow \widehat {MEC} = \widehat {EPQ}\,\left( 3 \right)\]

$△AHB\backsim △AEN\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\frac{HB}{EN}$  mà \[HP = HB \Rightarrow \frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{HP}}{{EN}}\]

\[PQ//AH \Rightarrow \frac{{PQ}}{{EQ}} = \frac{{AH}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{PQ}}{{EQ}} = \frac{{HP}}{{EN}}\,\,\left( 4 \right)\]

Từ (3) và (4) suy ra $△PQH\backsim △EQN\left(c.g.c\right)\Rightarrow \frac{PQ}{HQ}=\frac{EQ}{NQ}\left(5\right)$

và \[\widehat {PQH} = \widehat {EQN}\]

mà \[\widehat {PQH} = \widehat {PQE} + \widehat {EQH}\]

     \[\widehat {EQN} = \widehat {HQN} + \widehat {EQH}\]

\[ \Rightarrow \widehat {PQE} = \widehat {HQN}\,\,\left( 6 \right)\]

Từ (5) và (6) $\Rightarrow △PQE\backsim △HQN\left(c.g.c\right)\Rightarrow \widehat{PEQ}=\widehat{HNQ}\Rightarrow \widehat{HNQ}={90}^0$.

Gọi số tiền điện và tiền nước gia đình ông B trả trong tháng 4 là \(x,y\) (nghìn đồng, \(x,y > 0\)).

Tồng tiền điện và nước của ông trong tháng 4 là \(800\) nghìn đồng nên ta có phương trình

\(x + y = 800\)

Tổng chi phí điện và nước tháng 5 của gia đình ông là \(670\) nghìn đồng nên

\(80{\rm{\% }}x + 110{\rm{\% }}y = 670\) hay \(0,8x + 1,1y = 670\)

Suy ra hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{0,8x + 1,1y = 670}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,8x + 0,8y = 640}\\{0,8x + 1,1y = 670}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,8x + 0,8y = 640}\\{0,8x + 1,1y - \left( {0,8x + 0,8y} \right) = 670 - 640}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{0,3y = 30}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{y = 100}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 700}\\{y = 100}\end{array}} \right.\,\left( {tm} \right)\)

Vậy háng 4 gia đình ông Bình trà \(700\) nghìn đồng tiền điện và \(100\) nghìn đồng tiền nước.