(1,5 điểm)

Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 1\))

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).

b) Rút gọn \(B\).

c) Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(Q = A.B\) nhận giá trị nguyên nhỏ nhất.

a) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 25\)

Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A:

\(A = \frac{{\sqrt {25}  - 1}}{{\sqrt {25}  + 1}} = \frac{{5 - 1}}{{5 + 1}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Vậy khi \(x = 25\) thì \(A = \frac{2}{3}\).

b) Rút gọn B

\(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{5}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{4}{{(\sqrt x 1)(\sqrt x  + 1)}}\)

\(B = \frac{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 1) + 5(\sqrt x  + 1) + 4}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}}\)

\(B = \frac{{x - \sqrt x  + 3\sqrt x  - 3 + 5\sqrt x  + 5 + 4}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}}\)

\(B = \frac{{x + 7\sqrt x  + 6}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}} = \frac{{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  + 6)}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}} = \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 1}}\).

c) Tìm các giá trị của x để biểu thức \(Q = A.B\) nhận giá trị nguyên nhỏ nhất.

\(Q = A.B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{(\sqrt x  + 1) + 5}}{{\sqrt x  + 1}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x  + 1}}\)

Vì \(\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 \ge 1 \Rightarrow 0 < \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \le 5\).

Do đó \(1 < Q \le 6\).

Để \(Q\) nhận giá trị nguyên nhỏ nhất, ta chọn \(Q = 2\) (vì \(Q\) phải nguyên và \(Q > 1\)).

\(1 + \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 2 \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1 \Rightarrow \sqrt x  + 1 = 5 \Rightarrow \sqrt x  = 4 \Rightarrow x = 16\)

(Thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1\)).

Vậy \(x = 16\) thì \(Q\) đạt giá trị nguyên nhỏ nhất là 2.