Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y < 0}\\{x + 3y > - 2}\end{array}} \right.\) không chứa điểm nào sau đây?

Gọi số sản phẩm loại \(A\) và \(B\) bạn Linh dự định làm lần lượt là \(x,y\) (\(x,y \in \mathbb{N}\)).

Đổi \(8{\rm{\;gio}} = 480{\rm{\;ph\'u t}}\).

Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 9}\\{40x + 60y \le 480}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 9}\\{2x + 3y \le 24}\end{array}} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta được miền nghiệm là miền tứ giác \(ABCO\) (bao gồm cả các cạnh). Trong đó các đỉnh có tọa độ là \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {0;8} \right)\), \(B\left( {3;6} \right)\), \(C\left( {9;0} \right)\).

Số tiền bạn Linh thu được sẽ là biểu thức: \(F\left( {x;y} \right) = 15x + 20y\).

Tính giá trị của \(F\) tại các đỉnh:

 \(F\left( {0;0} \right) = 0\)

 \(F\left( {0;8} \right) = 160\)

 \(F\left( {3;6} \right) = 15.3 + 20.6 = 165\)

 \(F\left( {9;0} \right) = 15.9 = 135\)

Vậy số tiền bạn Linh thu được nhiều nhất là \(165\) nghìn đồng khi làm \(3\) sản phẩm loại \(A\) và \(6\) sản phẩm loại \(B\).

Vì trạm phát tín hiệu tại điểm \(I\) cách đều cả ba tòa nhà \(A,B,C\) nên \(I\) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R = IA = IB = IC\).

Ta có tam giác \(AHB\) và tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\).

Độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) được tính như sau:

\(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}}  = \sqrt {{{6,5}^2} + {{2,5}^2}}  = \sqrt {42,25 + 6,25}  = \sqrt {48,5} \);

\(AC = \sqrt {A{H^2} + C{H^2}}  = \sqrt {{{6,5}^2} + {{6,5}^2}}  = \sqrt {42,25 + 42,25}  = \sqrt {84,5} \);

\(BC = BH + HC = 2,5 + 6,5 = 9{\rm{km}}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6,5 \cdot 9 = 29,25\).

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:

\(R = IA = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{\sqrt {48,5}  \cdot \sqrt {84,5}  \cdot 9}}{{4 \cdot 29,25}} = \frac{{\sqrt {4098,25}  \cdot 9}}{{117}}\)

Ta tính toán giá trị \(I{A^2}\): \(I{A^2} = \frac{{4098,25 \cdot 81}}{{13689}} = \frac{{331958,25}}{{13689}} \approx 24,25\)\( \Rightarrow 100I{A^2} \approx 2425\).