Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần \(1,5\) giờ lắp ráp và \(1\) giờ hoàn thiện. Một chiếc ghế cần \(1\) giờ lắp ráp và \(2\) giờ hoàn thiện. Bộ phận lắp ráp có \(3\) công nhân, bộ phận hoàn thiện có \(4\) công nhân. Mỗi công nhân không làm việc quá \(8\) giờ một ngày và năng suất lao động của công nhân ở mỗi bộ phận đều như nhau. Thị trường luôn tiêu thụ hết sản phẩm của xưởng và lượng ghế tiêu thụ không vượt quá \(3,5\) lần số bàn. Một chiếc bàn lãi \(600\) nghìn đồng, một chiếc ghế lãi \(450\) nghìn đồng. Hỏi trong một ngày, xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn, chiếc ghế để thu được lợi nhuận cao nhất?

Gọi \(x\) là số chiếc bàn và \(y\) là số chiếc ghế mà xưởng sản xuất trong một ngày (\(x \ge 0\), \(y \ge 0\), \(x,y \in \mathbb{N}\)).

Tổng số giờ làm việc tối đa của bộ phận lắp ráp trong một ngày là: \(3 \times 8 = 24\) (giờ). Do đó, ta có bất phương trình: \(1,5x + 1y \le 24\).

Tổng số giờ làm việc tối đa của bộ phận hoàn thiện trong một ngày là: \(4 \times 8 = 32\) (giờ). Do đó, ta có bất phương trình: \(1x + 2y \le 32\).

Lượng ghế tiêu thụ không vượt quá \(3,5\) lần số bàn: \(y \le 3,5x \Leftrightarrow 3,5x - y \ge 0\).

Ta có hệ bất phương trình ràng buộc: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{1,5x + y \le 24}\\{x + 2y \le 32}\\{3,5x - y \ge 0}\end{array}} \right.\).

Số tiền lãi miền nghiệm thu được là: \(F\left( {x;y} \right) = 600x + 450y\) (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ là miền đa giác tạo bởi các đỉnh giao điểm. Để tìm điểm tối ưu, ta kiểm tra giá trị của các phương án được cho sẵn trong các đáp án xem có thỏa mãn hệ bất phương trình hay không và tính lợi nhuận:

Xét đáp án A (\(x = 8,y = 12\)):

\(1,5 \times 8 + 12 = 24 \le 24\) (Thỏa mãn)

\(8 + 2 \times 12 = 32 \le 32\) (Thỏa mãn)

\(3,5 \times 8 - 12 = 16 \ge 0\) (Thỏa mãn)

Lợi nhuận: \(F\left( {8;12} \right) = 600 \times 8 + 450 \times 12 = 4800 + 5400 = 10200\) nghìn đồng.

Xét đáp án B (\(x = 4,y = 14\)):

\(1,5 \times 4 + 14 = 20 \le 24\) (Thỏa mãn)

\(4 + 2 \times 14 = 32 \le 32\) (Thỏa mãn)

\(3,5 \times 4 - 14 = 0 \ge 0\) (Thỏa mãn)

Lợi nhuận: \(F\left( {4;14} \right) = 600 \times 4 + 450 \times 14 = 2400 + 6300 = 8700\) nghìn đồng.

Xét đáp án C (\(x = 10,y = 12\)):

\(1,5 \times 10 + 12 = 27 > 24\) (Không thỏa mãn hệ)

Xét đáp án D (\(x = 4,y = 12\)):

Thỏa mãn hệ, lợi nhuận: \(F\left( {4;12} \right) = 600 \times 4 + 450 \times 12 = 2400 + 5400 = 7800\) nghìn đồng.

So sánh các giá trị thỏa mãn, lợi nhuận lớn nhất là \(10200\) nghìn đồng khi sản xuất \(8\) chiếc bàn và \(12\) chiếc ghế.

Chọn A.